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L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる 📂確率論

L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる

定理

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P)マルティンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられたとき、確率過程 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が確率変数 YYL1\mathcal{L}_{1}で収束すると、{(Xn,Fn):n=1,,}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\}閉じ可能なマルティンゲールである。

説明

元は XnX_{n}YYL1\mathcal{L}_{1}で収束し、そしてほぼ確実に XX_{\infty} へ収束するとしても、YYXX_{\infty} の間にどんな関係があるか保証できない。 XnL1YXna.s.XY=X X_{n} \overset{\mathcal{L}_{1}}{\to} Y \land X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X_{\infty} \nRightarrow Y = X_{\infty} 式で書き直すと上記のようになるが、証明過程でマルティンゲールの場合 Y=a.s.XY \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} が成立することが確認できる。

証明

Part 1. EXnEYE |X_{n}| \to E |Y|

{Xn}\left\{ X_{n} \right\} が何らかの確率変数 YYL1\mathcal{L}_{1} で収束するとは、次のようである。 limnΩXnYdP=limnEXnY=0 \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} - Y | dP = \lim_{n \to \infty} E | X_{n} - Y | = 0 一般性を失わずに、abab\left| |a| - |b| \right| \le | a - b| なので EXnEYE(XnY)EXnYEXnY \begin{align*} \left| E | X_{n} | - E | Y | \right| \le & \left| E \left( | X_{n} | - | Y | \right| \right) \\ \le & E \left| |X_{n}| - |Y| \right| \\ \le & E \left| X_{n} - Y \right| \end{align*} 即ちnn \to \infty の時 EXnEYE |X_{n}| \to E |Y| である。


Part 2. Y=a.s.XY \overset{\text{a.s.}} = X_{\infty}

サブマルティンゲール収束定理: 確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とサブマルティンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられているとする。

supnNEXn+<\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty とすると、XnX_{n} はほとんど確実にある確率変数 X:ΩRX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} へ収束しEX<EX+<E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

EXnEYE |X_{n}| \to E |Y| なので supnNEXn<\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty である。もちろん EXn+EXn<E X_{n}^{+} \le E | X_{n} | < \infty であり、マルティンゲールはサブマルティンゲールであるから、サブマルティンゲール収束定理により、確率過程{Xn}\left\{ X_{n} \right\}はほとんど確実にある確率変数 XX_{\infty} へ収束する。従って、Y=a.s.XY \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} が成立する。


Part 3. E(XFn)=XnE \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right)= X_{n}

一般性を失わずに Z0EZ=0    Z0Z \ge 0 \land E Z = 0 \implies Z \le 0 なので、EE(XFn)Xn=0E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| = 0 が成立することを示せば十分である。m>nm > n を考えると EE(XFn)Xn=EE(XFn)E(XnFn)=EE(XFn)E(XmFn)=EE(XXmFn)E[E(XXmFn)]=EXXm \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} - X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E \left[ E \left( \left| X_{\infty} - X_{m} \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \right] \\ =& E | X_{\infty} - X_{m} | \end{align*} 両辺に limm\displaystyle \lim_{m \to \infty} を適用すると第1部と第2部に従って、 EE(XFn)Xn=limmEE(XFn)XnlimmEXXm0 \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| &= \lim_{m \to \infty} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| \\ \le & \lim_{m \to \infty} E | X_{\infty} - X_{m} | \\ \le & 0 \end{align*} したがって、{(Xn,Fn):n=1,,}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} は閉じ可能なマルティンゲールであることが確認できる。