L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる
📂確率論L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる
定理
確率空間 (Ω,F,P) とマルティンゲール {(Xn,Fn)} が与えられたとき、確率過程 {(Xn,Fn)} が確率変数 Y へL1で収束すると、{(Xn,Fn):n=1,⋯,∞} は閉じ可能なマルティンゲールである。
説明
元は Xn が Y へL1で収束し、そしてほぼ確実に X∞ へ収束するとしても、Y と X∞ の間にどんな関係があるか保証できない。
Xn→L1Y∧Xn→a.s.X∞⇏Y=X∞
式で書き直すと上記のようになるが、証明過程でマルティンゲールの場合 Y=a.s.X∞ が成立することが確認できる。
証明
Part 1. E∣Xn∣→E∣Y∣
{Xn} が何らかの確率変数 Y へ L1 で収束するとは、次のようである。
n→∞lim∫Ω∣Xn−Y∣dP=n→∞limE∣Xn−Y∣=0
一般性を失わずに、∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣ なので
∣E∣Xn∣−E∣Y∣∣≤≤≤∣E(∣Xn∣−∣Y∣∣)E∣∣Xn∣−∣Y∣∣E∣Xn−Y∣
即ちn→∞ の時 E∣Xn∣→E∣Y∣ である。
Part 2. Y=a.s.X∞
サブマルティンゲール収束定理: 確率空間 (Ω,F,P) とサブマルティンゲール {(Xn,Fn)} が与えられているとする。
n∈NsupEXn+<∞ とすると、Xn はほとんど確実にある確率変数 X∞:Ω→R へ収束しEX∞<EX∞+<∞
E∣Xn∣→E∣Y∣ なので n∈NsupE∣Xn∣<∞ である。もちろん EXn+≤E∣Xn∣<∞ であり、マルティンゲールはサブマルティンゲールであるから、サブマルティンゲール収束定理により、確率過程{Xn}はほとんど確実にある確率変数 X∞ へ収束する。従って、Y=a.s.X∞ が成立する。
Part 3. E(X∞∣Fn)=Xn
一般性を失わずに Z≥0∧EZ=0⟹Z≤0 なので、E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=0 が成立することを示せば十分である。m>n を考えると
E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣===≤=E∣E(X∞∣Fn)−E(Xn∣Fn)∣E∣E(X∞∣Fn)−E(Xm∣Fn)∣E∣E(X∞−Xm∣Fn)∣E[E(∣X∞−Xm∣∣Fn)]E∣X∞−Xm∣
両辺に m→∞lim を適用すると第1部と第2部に従って、
E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣≤≤=m→∞limE∣E(X∞∣Fn)−Xn∣m→∞limE∣X∞−Xm∣0
したがって、{(Xn,Fn):n=1,⋯,∞} は閉じ可能なマルティンゲールであることが確認できる。
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