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L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる 📂確率論

L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる

定理

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とマルティンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられたとき、確率過程 {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が確率変数 YY へL1\mathcal{L}_{1}で収束すると、{(Xn,Fn):n=1,⋯ ,∞}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} は閉じ可能なマルティンゲールである。

説明

元は XnX_{n} が YY へL1\mathcal{L}_{1}で収束し、そしてほぼ確実に X∞X_{\infty} へ収束するとしても、YY と X∞X_{\infty} の間にどんな関係があるか保証できない。 Xn→L1Y∧Xn→a.s.X∞⇏Y=X∞ X_{n} \overset{\mathcal{L}_{1}}{\to} Y \land X_{n} \overset{\text{a.s.}}{\to} X_{\infty} \nRightarrow Y = X_{\infty} 式で書き直すと上記のようになるが、証明過程でマルティンゲールの場合 Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} が成立することが確認できる。

証明

Part 1. E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y|

{Xn}\left\{ X_{n} \right\} が何らかの確率変数 YY へ L1\mathcal{L}_{1} で収束するとは、次のようである。 lim⁡n→∞∫Ω∣Xn−Y∣dP=lim⁡n→∞E∣Xn−Y∣=0 \lim_{n \to \infty} \int_{\Omega} | X_{n} - Y | dP = \lim_{n \to \infty} E | X_{n} - Y | = 0 一般性を失わずに、∣∣a∣−∣b∣∣≤∣a−b∣\left| |a| - |b| \right| \le | a - b| なので ∣E∣Xn∣−E∣Y∣∣≤∣E(∣Xn∣−∣Y∣∣)≤E∣∣Xn∣−∣Y∣∣≤E∣Xn−Y∣ \begin{align*} \left| E | X_{n} | - E | Y | \right| \le & \left| E \left( | X_{n} | - | Y | \right| \right) \\ \le & E \left| |X_{n}| - |Y| \right| \\ \le & E \left| X_{n} - Y \right| \end{align*} 即ちn→∞n \to \infty の時 E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y| である。

Part 2. Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}} = X_{\infty}

サブマルティンゲール収束定理: 確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とサブマルティンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられているとする。

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty とすると、XnX_{n} はほとんど確実にある確率変数 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} へ収束しEX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

E∣Xn∣→E∣Y∣E |X_{n}| \to E |Y| なので sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty である。もちろん EXn+≤E∣Xn∣<∞E X_{n}^{+} \le E | X_{n} | < \infty であり、マルティンゲールはサブマルティンゲールであるから、サブマルティンゲール収束定理により、確率過程{Xn}\left\{ X_{n} \right\}はほとんど確実にある確率変数 X∞X_{\infty} へ収束する。従って、Y=a.s.X∞Y \overset{\text{a.s.}}{=} X_{\infty} が成立する。

Part 3. E(X∞∣Fn)=XnE \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right)= X_{n}

一般性を失わずに Z≥0∧EZ=0  ⟹  Z≤0Z \ge 0 \land E Z = 0 \implies Z \le 0 なので、E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=0E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| = 0 が成立することを示せば十分である。m>nm > n を考えると E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=E∣E(X∞∣Fn)−E(Xn∣Fn)∣=E∣E(X∞∣Fn)−E(Xm∣Fn)∣=E∣E(X∞−Xm∣Fn)∣≤E[E(∣X∞−Xm∣∣Fn)]=E∣X∞−Xm∣ \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - E \left( X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ =& E \left| E \left( X_{\infty} - X_{m} | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E \left[ E \left( \left| X_{\infty} - X_{m} \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \right] \\ =& E | X_{\infty} - X_{m} | \end{align*} 両辺に lim⁡m→∞\displaystyle \lim_{m \to \infty} を適用すると第1部と第2部に従って、 E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣=lim⁡m→∞E∣E(X∞∣Fn)−Xn∣≤lim⁡m→∞E∣X∞−Xm∣≤0 \begin{align*} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| &= \lim_{m \to \infty} E \left| E \left( X_{\infty} | \mathcal{F}_{n} \right) - X_{n} \right| \\ \le & \lim_{m \to \infty} E | X_{\infty} - X_{m} | \\ \le & 0 \end{align*} したがって、{(Xn,Fn):n=1,⋯ ,∞}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ): n = 1 , \cdots , \infty \right\} は閉じ可能なマルティンゲールであることが確認できる。

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