ダイナミクスにおけるリミットサイクルの双曲性
定義
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^{n}$ と 開集合 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ で 連続な 関数 $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ に対して、次のような ベクトル場 が 微分方程式で与えられているとする。 $$ \dot{x} = f(x) $$ このシステムの リミットサイクル $L_{0}$ が横切る $\left( n-1 \right)$ 次元の 曲面 $\Sigma$ において定義された プアンカレ写像 を $P : \Sigma \to \Sigma$ とし、 $L_{0}$ と $\Sigma$ の 交点にある点 $\xi_{0}$ が 写像 $P$ の 固定点、すなわち $P \left( \xi_{0} \right) = \xi_{0}$ を満たすとする。
- $\xi_{0}$ が $P$ の 双曲固定点であれば リミットサイクル $L_{0}$ を双曲hyperbolicと呼ぶ。
- $\xi_{0}$ が $P$ の サドルであれば 双曲サイクル $L_{0}$ をサドルサイクルsaddle cycleと呼ぶ。
- $\Sigma$ の全ての点で $f(x) \cdot n (x) \ne 0$ ならば $\Sigma$ がベクトル場を横切るtransverseと言う。
説明
連続的なシステムにおいて関心の対象となるサイクルは無数の点から成っているため、直接的に理解するのは難しいが、プアンカレ写像を用いて一旦一 次元 下に引き下ろすと、 曲線の情報が点に要約されるため、固定点の双曲性についての議論をそのまま適用できる。 このような定義の利点は、その方がはるかに直感的に受け入れられるという点である。複雑に 不変集合が安定である、不安定である ということを考えるより、単に点の動きを想像するだけで十分である。