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一様に可積分なマルチンゲールはL1収束マルチンゲールである 📂確率論

一様に可積分なマルチンゲールはL1収束マルチンゲールである

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられているとしよう。確率過程 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} が何らかの確率変数 X∞X_{\infty} に対して次を満たす場合、{Xn}\left\{ X_{n} \right\} は X∞X_{\infty} に Lp\mathcal{L}_{p} 収束すると言われる。 lim⁡n→∞∥Xn−X∞∥p=0 \lim_{n \to \infty} \| X_{n} - X_{\infty} \|_{p} = 0 確率過程 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} が Lp\mathcal{L}_{p} 収束する場合、マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が Lp\mathcal{L}_{p} 収束すると言われる。

定理

マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が 一様可積分である場合、L1\mathcal{L}_{1} 収束する。

説明

測度論の感覚から見れば、p=1p=1 での収束が大した意味を持たないかもしれないけど、統計学の視点からは、この程度の収束でも十分であるかもしれない。

証明

∫Ω∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≤k)∣Xn∣dP+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP≤kP(∣Xn∣≤k)+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP≤k+∫(∣Xn∣>k)∣Xn∣dP \begin{align*} \int_{\Omega} |X_{n}| dP =& \int_{(|X_{n}| \le k)} |X_{n}| dP + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k P (|X_{n}| \le k) + \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \\ \le & k+ \int_{(|X_{n}| > k)} |X_{n}| dP \end{align*} {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が一様可積分であるとは、全ての ε>0\varepsilon > 0 に対して次を満たす k∈Nk \in \mathbb{N} が存在することを意味する。 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<ε \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon よって、上で得られた式の両辺に sup⁡n∈N\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} を取ると sup⁡n∈N∫Ω∣Xn∣dP≤k+sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<k+ε<∞ \begin{align*} \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} |X_{n}| dP \le & k + \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \\ <& k + \varepsilon \\ <& \infty \end{align*} これを整理すると sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty を得る。

サブマルチンゲール収束定理: 確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とサブマルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられているとしよう。

sup⁡n∈NEXn+<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} < \infty とすると、XnX_{n} はほぼ確実にある確率変数 X∞:Ω→RX_{\infty}: \Omega \to \mathbb{R} に収束する。 EX∞<EX∞+<∞E X_{\infty} < E X_{\infty}^{+} < \infty

sup⁡n∈NEXn+≤sup⁡n∈NE∣Xn∣<∞\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} E X_{n}^{+} \le \sup_{n \in \mathbb{N}} E | X_{n} | < \infty そしてマルチンゲールはサブマルチンゲールだから、サブマルチンゲール収束定理により、確率過程 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} はほぼ確実にある確率変数 X∞X_{\infty} に収束する。さらに、ほぼ確実に収束する場合、確率収束するので、Xn→PX∞X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty} と同様に記述できる。

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ヴィタリ収束定理: 測度空間 (X,E,μ)( X , \mathcal{E} , \mu) が与えられているとしよう。

1≤p<∞1 \le p < \infty の時、関数のシーケンス {fn}n∈N⊂Lp\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p} が ff に Lp\mathcal{L}_{p} 収束することは、以下の三つ全てを満たすことが必要十分条件である。

  • (i): {fn}\left\{ f_{n} \right\} は ff に測度収束する。
  • (ii): {∣fn∣p}\left\{ | f_{n} |^{p} \right\} は一様可積分である。
  • (iii): 全ての ε>0\varepsilon > 0 に対して F∈E∧F∩E=∅  ⟹  ∫F∣fn∣pdμ<εp∀n∈N F \in \mathcal{E} \land F \cap E = \emptyset \implies \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} \qquad \forall n \in \mathbb{N} を満たし、μ(E)<∞\mu (E) < \infty である E∈EE \in \mathcal{E} が存在する。

確率 PP は 有限測度であり、条件 (iii)を自明に満たす。さらに、仮定で p=1p=1 について {Xn}\left\{ X_{n} \right\} が一様可積分であるため、条件 (ii)を満たし、確率収束は測度収束を意味するので、Xn→PX∞X_{n} \overset{P}{\to} X_{\infty} は XnX_{n} が X∞X_{\infty} に測度収束するということを意味し、条件 (i)を満たす。ヴィタリ収束定理(⇐)(\Leftarrow) により、{Xn}\left\{ X_{n} \right\} は L1\mathcal{L}_{1} 収束するし、一様可積分マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} は L1\mathcal{L}_{1} 収束するマルチンゲールである。

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