ヴィタリ収束定理
📂測度論ヴィタリ収束定理
定理
測度空間 (X,E,μ) が与えられているとしよう。
1≤p<∞ とするとき、関数の シーケンス {fn}n∈N⊂Lp が f に Lp で収束することは、以下の三つの条件をすべて満たすことと必要十分条件である。
- (i): {fn} は f に測度収束する。
- (ii): {∣fn∣p} は一様可積分である。
- (iii): すべての ε>0 に対して
F∈E∧F∩E=∅⟹∫F∣fn∣pdμ<εp∀n∈N
が満たされ、μ(E)<∞ な E∈E が存在する。
説明
- (iii): 少し難しい言い方かもしれないが、E はある ε>0 に依存して、E=Eε のように表現でき、μ(E)<∞ を満たすほど大きくない必要がある。このくらい小さな Eε が存在し、∫F∣fn∣pdμ<εp を満たすような十分大きな F に重ならないようにする必要がある。
実際、不等式を満たすことができれば、E はどれだけ大きくても問題ない。だからこの条件は、測度 μ が有限測度であれば自明に成立する。全体空間 X に対して、μ(X)<∞ なので、Eε=X とすると、重なる部分がない可測集合は∅∈E だけであり、∫∅∣fn∣pdμ=0 で特に条件をチェックする必要がなくなる。

有限測度の典型的な例には確率 P がある。確率論では、ビタリ収束定理は一様可積分という条件が加わることによって、Lp までの確率収束を引き出す定理となる。