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ヴィタリ収束定理 📂測度論

ヴィタリ収束定理

定理 1

測度空間 (X,E,μ)( X , \mathcal{E} , \mu) が与えられているとしよう。

1p<1 \le p < \infty とするとき、関数の シーケンス {fn}nNLp\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p}ffLp\mathcal{L}_{p}収束することは、以下の三つの条件をすべて満たすことと必要十分条件である。

  • (i): {fn}\left\{ f_{n} \right\}ff測度収束する。
  • (ii): {fnp}\left\{ | f_{n} |^{p} \right\}一様可積分である。
  • (iii): すべての ε>0\varepsilon > 0 に対して FEFE=    Ffnpdμ<εpnN F \in \mathcal{E} \land F \cap E = \emptyset \implies \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} \qquad \forall n \in \mathbb{N} が満たされ、μ(E)<\mu (E) < \inftyEEE \in \mathcal{E} が存在する。

説明

  • (iii): 少し難しい言い方かもしれないが、EE はある ε>0\varepsilon>0 に依存して、E=EεE = E_{\varepsilon} のように表現でき、μ(E)<\mu (E) < \infty を満たすほど大きくない必要がある。このくらい小さな EεE_{\varepsilon} が存在し、Ffnpdμ<εp\displaystyle \int_{F} | f_{n} |^{p} d \mu < \varepsilon^{p} を満たすような十分大きな FF に重ならないようにする必要がある。
    実際、不等式を満たすことができれば、EE はどれだけ大きくても問題ない。だからこの条件は、測度 μ\mu有限測度であれば自明に成立する。全体空間 XX に対して、μ(X)<\mu (X) < \infty なので、Eε=XE_{\varepsilon} = X とすると、重なる部分がない可測集合はE\emptyset \in \mathcal{E} だけであり、fnpdμ=0\displaystyle \int_{\emptyset} | f_{n} |^{p} d \mu = 0 で特に条件をチェックする必要がなくなる。

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有限測度の典型的な例には確率 PP がある。確率論では、ビタリ収束定理は一様可積分という条件が加わることによって、Lp\mathcal{L}_{p} までの確率収束を引き出す定理となる。


  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p76. ↩︎