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測度収束 📂測度論

測度収束

定義 1

測度空間 (X,E,μ)( X , \mathcal{E} , \mu) が与えられているとする。

可測関数のシーケンス {fn}n∈N\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が、全ての M>0M >0 に対して次を満たす場合、ff に測度収束すると言われる。 lim⁡n→∞μ({x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M})=0 \lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0 シーケンス {fn}n∈N\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が、全ての M>0M >0 に対して次を満たす場合、測度でコーシーcauchy in measureと呼ばれる。 lim⁡n,m→∞μ({x∈X:∣fm(x)−fn(x)∣≥M})=0 \lim_{n,m \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{m}(x) - f_{n}(x) | \ge M \right\} \right) = 0

説明

確率論での表現では、確率収束と呼ばれる。

収束の定義は、我々が考える収束をきれいに説明する。しかし、このように複雑に測度まで動員して新たな収束を定義する理由は、収束が過度に難しい可能性があるためである。しかし、測度収束すれば、つまり、fnf_{n} がff と十分に似ていない領域をμ\mu で測定した時、00 に収束する程度で妥協できるなら、もっと多くの話ができる。

これは測度論でほとんど至る所で議論することと似ている。さらに、測度収束はほとんど至る所よりも一歩引いた概念であり、以下の性質を見て、どれだけ不利な条件でも使用できるかを確認しよう。

基本性質

  • [1]: fnf_{n} が ff に一様収束する場合、点収束する。
  • [2]: fnf_{n} が ff に点収束する場合、ほとんど至る所で収束する。
  • [3]: fnf_{n} が ff にほとんど至る所で収束する場合、測度収束する。
  • [4]: fnf_{n} が ff にLp\mathcal{L}_{p} 収束する場合、測度収束する。

[1]～[3]をまとめると以下のようになる:

  • 一様収束   ⟹  \implies 点収束   ⟹  \implies ほとんど至る所で収束   ⟹  \implies 測度収束

証明

[1]

一様収束の定義により、全ての x∈Xx \in X と全ての ε>0\varepsilon > 0 に対して n≥N  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣<εn \ge N \implies |f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon を満たす N∈NN \in \mathbb{N} が存在するため、fnf_{n} は ff に点収束する。

■

[2]

fnf_{n} が ff に点収束するとは、E=∅E = \emptyset を除いた XX の全ての点 xx で各々の関数値 fn(x)f_{n} (x) が f(x)f(x) に収束することを意味する。この時 μ(∅)=0\mu ( \emptyset ) = 0 なので、fnf_{n} は ff にほとんど至る所で収束する。

■

[3]

fnf_{n} が ff にほとんど至る所で収束するとは、μ(E)=0\mu ( E) = 0 を満たす何かの E∈EE \in \mathcal{E} を除いた XX の全ての点 xx で各々の関数値 fn(x)f_{n} (x) が f(x)f(x) に収束することを意味する。M>0M > 0 がどう与えられても {x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M}⊂E \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \subset E であり、測度の単調性に従って常に μ({x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M})≤μ(E)=0 \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) \le \mu ( E ) = 0 なので、fnf_{n} は ff に測度収束する。

■

[4]

M>0M > 0 に対して ∫X∣fn−f∣pdμ≥∫{x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M}∣fn−f∣pdμ≥∫{x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M}Mpdμ≥Mpμ({x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M}) \begin{align*} \int_{X} | f_{n} - f |^{p} d \mu &\ge \int_{\left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\}} |f_{n} - f |^{p} d \mu \\ &\ge \int_{\left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\}} M^{p} d \mu \\ &\ge M^{p} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) \end{align*} fnf_{n} が ff にLp\mathcal{L}_{p} 収束するので、lim⁡n→∞∫X∣fn−f∣pdμ=0\displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_{X} | f_{n} - f |^{p} d \mu = 0 そしてM>0M>0 ゆえに lim⁡n→∞μ({x∈X:∣fn(x)−f(x)∣≥M})=0 \lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0 でなければならない。したがって、fnf_{n} は ff に測度収束する。

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参照

  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p68. ↩︎