📂ルベーグ空間

Lp 収束

定義 ¹

関数のシーケンス $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ がある関数 $f$ に対して次を満たす場合、$\left\{ f_{n} \right\}$ が$f$ に**$L^{p}$ 収束する**と言う。

$$\lim_{n \to \infty} \left\| f_{n} - f \right\|_{p} = 0$$

シーケンス $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が次を満たす場合、$L^{p}$ でコーシー^{cauchy in $L^{p}$}と言われる。

$$\lim_{n, m \to \infty} \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{p} = 0$$

説明

もちろん、$\left\| \cdot \right\|_{p}$ は$p$-ノルムとして次のように定義される。

$$\left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{E} | f |^{p} dm \right) ^{{{1} \over {p}}}$$

関数のシーケンスが$L^{p}$ 収束するというのは、ノルムの意味で収束することを指す。ルベーグ空間の性質では、$p \le q$ が$f_{n}$ が$L^{q}$ で収束する場合、$L^{p}$収束すると言える。

参照

• $L^{p}$ 収束 $\implies$ 測度収束