Lp 収束
定義 1
関数のシーケンス $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ がある関数 $f$ に対して次を満たす場合、$\left\{ f_{n} \right\}$ が$f$ に**$L^{p}$ 収束する**と言う。
$$ \lim_{n \to \infty} \left\| f_{n} - f \right\|_{p} = 0 $$
シーケンス $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が次を満たす場合、$L^{p}$ でコーシーcauchy in $L^{p}$と言われる。
$$ \lim_{n, m \to \infty} \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{p} = 0 $$
説明
もちろん、$\left\| \cdot \right\|_{p}$ は$p$-ノルムとして次のように定義される。
$$ \left\| f \right\|_{p} := \left( \int_{E} | f |^{p} dm \right) ^{{{1} \over {p}}} $$
関数のシーケンスが$L^{p}$ 収束するというのは、ノルムの意味で収束することを指す。ルベーグ空間の性質では、$p \le q$ が$f_{n}$ が$L^{q}$ で収束する場合、$L^{p}$収束すると言える。
参照
- $L^{p}$ 収束 $\implies$ 測度収束
Bartle. (1995). 非連続積分およびLebesgue測度の要素: p58. ↩︎