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それがレギュラーマルチンゲールであれば、それは一様に可積分なマルチンゲールである 📂確率論

それがレギュラーマルチンゲールであれば、それは一様に可積分なマルチンゲールである

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられているとしよう。確率変数の集合 Φ\Phi が与えられた場合、全ての ε>0\varepsilon>0 に対して sup⁡X∈Φ∫(∣X∣≥k)∣X∣dP<ε \sup_{ X \in \Phi } \int_{ \left( \left| X \right| \ge k \right) } \left| X \right| dP < \varepsilon を満たす k∈Nk \in \mathbb{N} が存在するなら、Φ\Phi は一様可積分であると言う。確率過程 {Xn}\left\{ X_{n} \right\} が一様可積分である場合、マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} も一様可積分であると言う。

定理

マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が正則なら、一様可積分である。

説明

∣X∣≥k|X| \ge k を考える理由を理解すると、定義を受け入れやすくなる。確率論で一様可積分かどうかを問うことは、確率過程が常に第一モーメントを持つかどうかを問うことと同じだ。つまり E∣Xn∣<∞E |X_{n}| <\infty をチェックすることで、自然数 k∈Nk \in \mathbb{N} が固定されている場合、 E∣Xn∣=∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP+∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP E |X_{n}| = \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP なので、 ∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP<∫(∣Xn∣<k)kdP<∫ΩkdP<kP(Ω)<∞ \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dP <& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } k dP \\ <& \int_{ \Omega } k dP \\ <& k P ( \Omega ) \\ <& \infty \end{align*} となり、∫(∣Xn∣<k)∣Xn∣dP\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| < k \right) } \left| X_{n} \right| dPを考える必要がなくなり、∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP が有限であるかだけをチェックすればよい

証明

全ての ε>0\varepsilon > 0 に対して、次を満たす k∈Nk \in \mathbb{N} が存在することを示せばよい。 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP<ε \sup_{ n \in \mathbb{N} } \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP < \varepsilon

Part 1. ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+ME∣Xn∣k\displaystyle \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}}

条件付き期待値の性質:

  • [3]: XX が F\mathcal{F}-可測ならば E(X∣F)=X a.s.E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}
  • [10]: ∣E(X∣G)∣≤E(∣X∣∣G) a.s.\left| E( X | \mathcal{G} ) \right| \le E ( | X | | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}
  • [11]: 全てのシグマフィールド G\mathcal{G} に対して E[E(X∣G)]=E(X)E \left[ E ( X | \mathcal{G} ) \right] = E(X)

{(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} は正則マルチンゲールであるので、Xn=E(η∣Fn)X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) を満たす可積分な確率変数 η\eta が存在する。条件付き期待値の性質 [3]、[10] に従って、 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≥k)∣E(η∣Fn)∣dP≤∫(∣Xn∣≥k)E(∣η∣∣Fn)dP=∫(∣Xn∣≥k)∣η∣dP \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } E \left( | \eta| | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } | \eta| dP \end{align*} 今、(∣Xn∣≥k)\left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) を (∣η∣>M)\left( \left| \eta \right| > M \right) と (∣η∣≤M)\left( \left| \eta \right| \le M \right) の 2 つの部分に分けると、 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP=∫(∣Xn∣≥k)∩(∣η∣>M)∣η∣dP+∫(∣Xn∣≥k)∩(∣η∣≤M)∣η∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+∫(∣Xn∣≥k)MdP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MP(∣Xn∣≥k) \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP =& \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \cap \left( \left| \eta \right| \le M \right)} | \eta| dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } M dP \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \end{align*}

マルコフの不等式: P(u(X)≥c)≤E(u(X))c P(u(X) \ge c) \le {E(u(X)) \over c}

マルコフの不等式によって、 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MP(∣Xn∣≥k)≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+ME∣Xn∣k \begin{align*} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M P \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) \\ \le & \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + M {{ E |X_{n} | } \over {k}} \end{align*}

Part 2. sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ a.s.\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | \text{ a.s.}

Xn=E(η∣Fn)X_{n} = E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) なので、条件付き期待値の性質 [10]、[11] に従って、 E∣Xn∣=E∣E(η∣Fn)∣≤EE(∣η∣∣Fn)≤E∣η∣ \begin{align*} E |X_{n} | =& E \left| E \left( \eta | \mathcal{F}_{n} \right) \right| \\ \le & E E \left( \left| \eta \right| | \mathcal{F}_{n} \right) \\ \le & E | \eta | \end{align*} なので、Part 1から続いて、次の不等式を得る。 ∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta | これは全ての n∈Nn \in \mathbb{N} と M>0M>0 に対して成り立つので、 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤∫(∣η∣>M)∣η∣dP+MkE∣η∣ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP + {{M} \over {k}} E | \eta |

Part 3. ∫(∣η∣>M)∣η∣dP<ε2\displaystyle \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}}

支配収束定理: 可測集合 E∈ME \in \mathcal{M} と g∈L1(E)g \in \mathcal{L}^{1} (E) に対して、可測関数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} が EE のほとんど至る所で ∣fn∣≤g|f_{n}| \le g を満たすとする。もし EE のほとんど至る所で f=lim⁡n→∞fn\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n} ならば、f∈L1(E)f \in \mathcal{L}^{1}(E) そして lim⁡n→∞∫Efn(x)dm=∫Efdm \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm

∣η∣1(∣η∣>M)≤∣η∣|\eta| \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } \le | \eta| なので、支配収束定理によって、 lim⁡M→∞∫(∣η∣>M)∣η∣dP=lim⁡M→∞∫Ω∣η∣1(∣η∣>M)dP=∫Ωlim⁡M→∞∣η∣1(∣η∣>M)dP=0 \begin{align*} \lim_{M \to \infty} \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta | dP =& \lim_{M \to \infty} \int_{ \Omega } | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& \int_{ \Omega } \lim_{M \to \infty} | \eta | \mathbb{1}_{\left( \left| \eta \right| > M \right) } dP \\ =& 0 \end{align*} つまり、全ての ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0 に対して、 ∫(∣η∣>M)∣η∣dP<ε2 \int_{ \left( \left| \eta \right| > M \right) } | \eta| dP < {{\varepsilon} \over {2}} を満たす MM が存在する。

Part 4. MkE∣η∣<ε2\displaystyle {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}}

Part 3 に従って、 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤ε2+MkE∣η∣ \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{M} \over {k}} E | \eta | を満たす MM が存在する。この MM と全ての ε2>0\displaystyle {{\varepsilon} \over {2}} > 0 に対して、 MkE∣η∣<ε2 {{M} \over {k}} E | \eta | < {{\varepsilon} \over {2}} を満たす k∈Nk \in \mathbb{N} が存在する。全ての ε>0\varepsilon >0 に対して、次を満たす k∈Nk \in \mathbb{N} が存在するので、正則マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} は一様可積分である。 sup⁡n∈N∫(∣Xn∣≥k)∣Xn∣dP≤ε2+ε2=ε \sup_{n \in \mathbb{N}} \int_{ \left( \left| X_{n} \right| \ge k \right) } \left| X_{n} \right| dP \le {{\varepsilon} \over {2}} + {{\varepsilon} \over {2}} = \varepsilon

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