📂集合論

数学における飽和及びファイバーの定義

定義

1. セット$X$、$Y$と関数$\pi\ :\ X\rightarrow Y$が与えられているとする。もし$\pi^{-1}\big( \pi (u) \big)=u$が成り立つなら、$u\subset X$を飽和^Saturationという。
2. セット$\pi^{-1}(y) \subset X$を点$y\in Y$上の$\pi$のファイバーあるいは茎という。

説明

$\pi^{-1}$はプリイメージだ。下の図を見ると簡単に理解できる。

飽和

$u$は常に$\pi^{-1} \big( \pi (u) \big)$以下だ。従って、$u$が飽和するとは、$u$が可能な限り最大になったと理解できる。

ファイバー

簡単に言えば、ある点に対するプリイメージだ。なぜファイバーと呼ばれるのかは、下の図を見れば直感的に理解できるだろう。

また、二つの定義により、以下の事実が容易にわかる。

定理

$u \subset X$が飽和であることは、$u$が$\pi\ :\ X\rightarrow Y$のファイバーの合併であることと同値である。