ドブの最大不等式証明
定理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と サブマーチンゲール $\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\}$ が与えられたとする。
ある $N \in \mathbb{N}$ と $p>1$ に対して $X_{n} \ge 0 (n \le N)$, $E X_{N}^{p} < \infty$ ならば $$ E \left( \max_{n \le N} X_{n}^{p} \right) \le \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)^{p} E X_{N}^{p} \text{ a.s.} $$
説明
方程式の形は $\displaystyle \max_{n \le N} \cdot_{n} ^{p}$ から生じる $\displaystyle \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)^{p}$ を外に出してその上限を計算すると見ることができる。$\displaystyle \left( {{ p } \over { p-1 }} \right)>1$ なので $p$ が大きすぎると不等式としての価値が下がり、最後の数 $N$ が大きくてもいいというのが重要だ。理論を超えて統計学に実践的に応用するときは、この $N$ をかなり大きくしてもいいので、$N$ が限定されていることに特に注意しない。
証明
戦略：まず、定数 $L$ に対して $\displaystyle \left( L \land \max_{n \le N} X_{n} ^{p} \right)$ を選び $L$ を基準にして値を切り取って方程式の展開を行う。ここで $\land$ は二つの関数 $f,g$ に対する $\displaystyle (f \land g) (x):= \min \left\{ f(x) , g(x) \right\}$ を意味する。様々なトリックを通じて気に入る式を得た後、$L$ を無限大に送ると最終的には $\displaystyle \infty \land \max_{n \le N} X_{n} ^{p} = \max_{n \le N} X_{n} ^{p}$ だけが残ることになる。
Part 1.
$\displaystyle Y:= \max_{n \le N} X_{n}$ として全ての $n \in \mathbb{N}$ に対して $L_{n+1} > L_{n}$ を満たす増加数列 $\left\{ L_{n} \right\}$ を考える。
$$ EX = \int_{0}^{\infty} P(X>t) dt $$
$t:= \lambda^{p}$ とすれば 期待値の別の表現 に従って $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] =& \int_{0}^{\infty} P \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} > t \right] dt \\ =& \int_{0}^{\infty} P \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} > \lambda^{p} \right] p \lambda^{p-1} d \lambda \\ =& \int_{0}^{\infty} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ =& \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \end{align*} $$ 積分区間を $[0,\infty]$ から $[0,L_{n}]$ に縮めてもいい理由は、どうせ $0 \le \lambda \le L_{n}$ ならば $P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right)$ を扱っているので $\infty$ まで考える必要がないからである。一方、証明の終わりに $L_{n}$ を無限大に送るので $L_{n} < \lambda $ の場合はさらに考える必要がない。
Part 2.
$\left\{ (X_{n} , \mathcal{F}_{n}) \right\}$ がサブマーチンゲールならば全ての $\lambda > 0$ に対して $$ \lambda P \left( \max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda \right) \le \int_{(\max_{n \le N} X_{n} \ge \lambda)} X_{N} dP $$
$0 \le \lambda \le L_{n}$ ならばとにかく $Y \ge L_{n}$ であり、サブマーチンゲールに対する不等式 [3] によれば $\displaystyle P \left( Y \ge \lambda \right) \le \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} dP$ なので $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \land L_{n} > \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & \int_{0}^{L_{n}} P \left( Y \ge \lambda \right) p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & \int_{0}^{L_{n}} {{ 1 } \over { \lambda }} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} dP p \lambda^{p-1} d \lambda \\ \le & p \int_{0}^{L_{n}} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} \lambda^{p-2} dP d \lambda \end{align*} $$
Part 3.
フビニの定理 に従って $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & p \int_{0}^{L_{n}} \int_{(Y \ge \lambda)} X_{N} \lambda^{p-2} dP d \lambda \\ \le & p \int_{\Omega} \int_{0}^{ Y \land L_{n}} X_{N} \lambda^{p-2} d \lambda dP \\ =& p \int_{\Omega} X_{N} \int_{0}^{ Y \land L_{n}} \lambda^{p-2} d \lambda dP \\ =& p \int_{\Omega} X_{N} {{ 1 } \over { p-1 }} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} dP \\ =& {{ p } \over { p-1 }} \int_{\Omega} X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} dP \\ =& {{ p } \over { p-1 }} E \left[ X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right] \end{align*} $$
ヘルダーの不等式：$p>1$ に対して $\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ かつ $f \in \mathcal{L}^{p} (E) $, $g \in \mathcal{L}^{q} (E)$ ならば $fg \in \mathcal{L}^{1} (E)$ そして $| fg |_{1} \le | f |_{p} | g |_{q}$
$\displaystyle q: = {{ p } \over { p-1 }}$ とすると $q (p-1) = p$ であり、ヘルダーの不等式に従って $$ \begin{align*} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le & {{ p } \over { p-1 }} E \left[ X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right] \\ \le & {{ p } \over { p-1 }} \left\| X_{N} \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right\|_{1} \\ \le & q \left\| X_{N} \right\|_{p} \left\| \left( Y \land L_{n} \right)^{p-1} \right\|_{q} \\ \le & q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{(p-1) \cdot q} \right]^{1/q} \\ \le & q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1/q} \end{align*} $$ 両辺を $\displaystyle E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1/q}$ で割ると $$ E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right]^{1-1/q} \le q \left[ E X_{N}^{p} \right]^{1/p} $$ 両辺に $p$ の乗を取ると $1 - 1/q = 1 - (p-1)/p = 1/p$ であるため $$ E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ 両辺に極限を取ると $$ \lim_{n \to \infty} E \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le \lim_{n \to \infty} q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ $n \to \infty$ の時 $Y \land L_{n} \nearrow Y$ であるため単調収束定理に従って $$ E \lim_{n \to \infty} \left[ \left( Y \land L_{n} \right)^{p} \right] \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$ 式を整理すると $$ E Y^{p} \le q^{p} \left[ E X_{N}^{p} \right] $$
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