📂測度論

ルベーグ-ラドン-ニコディムの補助定理

定理¹

可測空間$(X, \mathcal{E})$上の有限測度 $\mu$, $\nu$が与えられたとしよう。そうすると、$\mu \perp \nu$であるか、または以下の条件を満たす$\epsilon>0$, $E \in \mathcal{E}$が存在する。

$$ \mu (E) >0 \quad \text{and} \quad \nu (E) \ge \epsilon \mu (E) $$

説明

この定理には特に名前はないが、ルベーグ-ラドン-ニコディムの定理を証明する際に有用な補助定理として使われる。特定のふたつの有限測度の関係が、ただひとつのふたつの可能性に分けられるというかなり強力な内容を含んでいる。

証明

まず、自然数$n$に対して、与えられたふたつの符号付き測度の差 $\nu-\dfrac{1}{n}\mu$は符号付き測度になる。$X=P_{n} \cup N_{n}$を$\nu-\dfrac{1}{n}\mu$に対する1つの分割としよう。そして集合 $P$, $N$を以下のように定義しよう。

$$ P:= \bigcup _{n=1} ^\infty P_{n} \quad \text{and} \quad N:=P^c=\bigcap _{n=1} ^\infty N_{n} $$

すると、$N$は$\nu-\dfrac{1}{n}\mu$に対する負の集合なので、次が成り立つ。

$$ \nu (N)-\frac{1}{n}\mu (N) \le 0 \quad \implies \quad \nu (N) \le \frac{1}{n}\mu (N) $$

仮定により$\mu (N) < \infty$が成立し、上の式は全ての$n$に対して成り立つので、次を得る。

$$ \nu (N) =0 $$

• ケース 1.

  $\mu (P)=0$と仮定しよう。すると$P\cup N =X$, $P\cap N=\varnothing$が成立し、$P$は$\nu$-null、$N$は$\nu$-nullなので、次が成り立つ。

  $$ \nu \perp \mu $$

• ケース 2.

  $\mu (P)>0$と仮定しよう。すると、少なくともひとつの$n$が$\mu (P_{n})>0$である。そして、$P_{n}$は$\nu -\dfrac{1}{n}\mu$に対する正の集合なので、次が成り立つ。

  $$ \nu (P_{n}) -\dfrac{1}{n}\mu ( P_{n}) \ge 0 \quad \implies \quad \nu (P_{n}) \ge \frac{1}{n}\mu (P_{n}) $$

  $\dfrac{1}{n}$と$P_{n}$はそれぞれ定理を満たす$\epsilon$, $E$になる。

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