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選択的サンプリング定理の証明 📂確率論

選択的サンプリング定理の証明

定理

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) と スーパーマルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が与えられたとしよう。

τ\tau と σ\sigma が σ≤τ\sigma \le \tau と Fn\mathcal{F}_{n} に関してバウンドした停止時刻である場合 E(Xτ∣Fσ)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}

  • τ\tau が Fn\mathcal{F}_{n} に対してバウンドされるとは、すべての E∈FnE \in \mathcal{F}_{n} に対して τ(E)≤N\tau (E) \le N を満たす N∈NN \in \mathbb{N} が存在するということである。

説明

式自体が示しているのは、σ≤τ≤N\sigma \le \tau \le N という条件がある時に、スーパーマルチンゲールの条件 E(Xσ+1∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\sigma +1} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} が τ\tau に変わっても E(Xτ∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.} 不等式の向きが保持されるということだ。

証明

パート1. 1(σ=b)1(τ≥n)=1(σ=n)\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}

σ≤τ\sigma \le \tau なので (σ=n)⊂(τ≥n)(\sigma = n ) \subset ( \tau \ge n) が従い、1(σ=b)1(τ≥n)=1(σ=n)\mathbb{1}_{(\sigma = b)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} = \mathbb{1}_{(\sigma = n)}

パート2. (τ≥n+1)∈Fn( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n}

(τ<n+1)=(τ≤n)∈Fn( \tau < n+1) = ( \tau \le n ) \in \mathcal{F}_{n} であり、(τ<n+1)=(τ≥n+1)c( \tau < n+1) = ( \tau \ge n+1)^{c} を考えると、シグマ場の定義によって (τ≥n+1)∈Fn( \tau \ge n+1) \in \mathcal{F}_{n} でなければならない。

パート3. Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn1(σ=n))X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \right)

n=1,⋯ ,Nn = 1 , \cdots , N の場合について考えてみよう。

条件付き期待値の性質: XX が F\mathcal{F}-可測ならば E(X∣F)=X a.s.E(X|\mathcal{F}) =X \text{ a.s.}

条件付き期待値の性質と指示関数の性質、そしてパート1, 2に従ってすべての事象 A∈FnA \in \mathcal{F}_{n} に対して ∫AXn1(σ=n)dP−∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)dP=∫AXn1(σ=n)1(τ≥n)dP−∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)1(τ≥n)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)XndP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xn∣Fn)dP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)E(Xn−Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)(Xn−Xτ)dP \begin{align*} & \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \\ =& \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP - \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \mathbb{1}_{(\tau \ge n)} dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } E \left( X_{n} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \end{align*} 積分範囲の (τ≥n)( \tau \ge n) を (τ>n)( \tau > n) と (τ=n)( \tau = n) に分割すると、(Xτ−Xn)=0(X_{\tau} - X_{n}) = 0 だから (τ=n)(\tau = n) で ∫A∩(σ=n)∩(τ≥n)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP+∫A∩(σ=n)∩(τ=n)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP+0 \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = n) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP + 0 \end{align*} {(Xn,Fn)}\left\{ ( X_{n} , \mathcal{F}_{n} ) \right\} が スーパーマルチンゲール として与えられ、XτX_{\tau} が Fn\mathcal{F}_{n}-可測であるため、Xτ=E(Xτ∣Fn) a.s.X_{\tau} = E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \text{ a.s.} になる ∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)XndP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)XτdP≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xn+1∣Fn)dP−∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)E(Xn+1−Xτ∣Fn)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+1)(Xn+1−Xτ)dP≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥n+2)(Xn+2−Xτ)dP⋮≥∫A∩(σ=n)∩(τ≥N)(XN−Xτ)dP=∫A∩(σ=n)∩(τ=N)(XN−Xτ)dP=0 a.s. \begin{align*} & \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{n} dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } X_{\tau} dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) dP - \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } E \left( X_{n+1} - X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +1 ) } \left( X_{n+1} - X_{\tau} \right) dP \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge n +2 ) } \left( X_{n+2} - X_{\tau} \right) dP \\ & \vdots & \\ \ge& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau \ge N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& \int_{A \cap ( \sigma =n ) \cap ( \tau = N ) } \left( X_{N} - X_{\tau} \right) dP \\ =& 0 \text{ a.s.} \end{align*} その後、最初に始めた式から ∫AXn1(σ=n)dP≥∫AE(Xτ∣Fn)1(σ=n)dP a.s. \int_{A} X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \ge \int_{A} E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} dP \text{ a.s.} そして∀A∈F,∫Afdm=0  ⟺  f=0 a.e.\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} であるから Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn)1(σ=n) a.s. X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \text{ a.s.}

パート4. E(Xτ∣F)≤Xσ a.s. E \left( X_{\tau} | \mathcal{F} \right) \le X_{\sigma} \text{ a.s.}

停止時刻の性質: ZnZ_{n} が FnF_{n}-可測関数であれば、Zn1σ=nZ_{n} \mathbb{1}_{\sigma = n} は Fσ\mathcal{F}_{\sigma} と Fn\mathcal{F}_{n} の両方に関して可測関数であり、さらに、Zn1(σ=n)=Zσ1(σ=n)Z_{n} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} = Z_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma = n)} が成り立つ。

停止時刻の性質とパート3によって、n=1,⋯ ,Nn=1,\cdots, N について Xn1(σ=n)≥E(Xτ∣Fn)1(σ=n)  ⟺  Xσ1(σ=n)≥E(Xτ∣Fσ)1(σ=n)  ⟺  Xσ≥E(Xτ∣Fσ) \begin{align*} & X_{n} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{n} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \mathbb{1}_{(\sigma =n)} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \mathbb{1}_{(\sigma = n)} \\ \iff & X_{\sigma} \ge E \left( X_{\tau} | \mathcal{F}_{\sigma} \right) \end{align*}

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