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確率過程における停止時間 📂確率論

確率過程における停止時間

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P)が与えられているとしよう。フィルトレーション {Fn}\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}に関して00以上の整数値を持ち、全てのn∈N0n \in \mathbb{N}_{0}に対して(τ=n)∈Fn(\tau = n) \in \mathcal{F}_{n}を満たす確率変数τ\tauを停止時間stopping Timeと呼ぶ。

  • ボレル集合 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})に対して、(τ∈B)=τ−1(B)(\tau \in B) = \tau^{-1} (B)は、したがってτ−1({n})\tau^{-1} ( \left\{ n \right\} )と同じである。

例

停止時間の直感的な概念は、興味のあるイベントが起こる―観察される瞬間を指す。例えば、τ=8\tau = 8は情報F8\mathcal{F}_{8}を知りながら興味のあるイベントがn=8n=8で起きたことを意味する。一見、停止時間の条件は簡単すぎるように見えるかもしれない。しかし、全てのn∈N0n \in \mathbb{N}_{0}に対して満足しなければならない点が難題となる。

Y1,Y2,⋯∼iidB(1,p)Y_{1}, Y_{2} , \cdots \overset{iid}{\sim} B(1,p)としよう。つまり、各YnY_{n}が確率ppのベルヌーイ分布に従うとし、Y5Y_{5}までの結果が以下のようだとしよう。 Y1Y2Y3Y4Y500101 \begin{matrix} Y_{1} & Y_{2} & Y_{3} & Y_{4} & Y_{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}

(1) 停止時間でない場合: τ\tauをτ:=max⁡{k:Yk=0}\tau:= \max \left\{ k: Y_{k} = 0 \right\}と置いた場合、上記のケースでは以下のようにτ\tauが計算される。 Y1Y2Y3Y4Y500101τ=1τ=2τ=2τ=4τ=5 \begin{matrix} Y_{1} & Y_{2} & Y_{3} & Y_{4} & Y_{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \tau = 1 & \tau = 2 & \tau = 2 & \tau = 4 & \tau = 5 \end{matrix} ここで、τ\tauは以下を満たさなければ停止時間になれない。 (τ=n)=(Yn=0,Yn+1=1,⋯ ) (\tau = n ) = \left( Y_{n} = 0 , Y_{n+1} = 1 , \cdots \right) これは正確にYn=0Y_{n} = 0であり、その後は必ず11でなければならないが、どんなにn∈Nn \in \mathbb{N}があってもまだ試行もしていないので結果を知ることはできない。したがって、τ\tauは停止時間になれない。

(2) 停止時間になる場合: τ\tauをτ:=min⁡{k:Yk=1}\tau:= \min \left\{ k: Y_{k} = 1 \right\}と置いた場合、上記のケースでは以下のようにτ\tauが計算される。 Y1Y2Y3Y4Y500101τ=0τ=0τ=3τ=3τ=3 \begin{matrix} Y_{1} & Y_{2} & Y_{3} & Y_{4} & Y_{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \tau = 0 & \tau = 0 & \tau = 3 & \tau = 3 & \tau = 3 \end{matrix} τ\tauはすでにn=3n=3で興味のあるイベントが起きてしまっており、未来に何が出ても関係なくなり、停止時間になる。

説明

上記の例で、max⁡\maxは停止時間に適さなかったが、min⁡\minは停止時間になったことに注目しよう。この意味で、停止時間は「何かが初めて起こるタイミング」と直感的に考えることができるべきだ。一方で、数学的に厳密な定義では、τ\tauはまだ確率変数であることも忘れてはならない。確率過程 {Xn}n∈N0\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}_{0}}が与えられている場合、XτX_{\tau}に対してω∈Ω\omega \in \Omegaは以下を意味する。 Xτ=Xτ(ω)=Xτ(ω)(ω) X_{\tau} = X_{\tau} ( \omega )= X_{\tau (\omega)} ( \omega ) 例えば、τ(ω1)=5\tau (\omega_{1}) = 5ならば、Xτ(ω1)=X5(ω1)X_{\tau} (\omega_{1}) = X_{5} ( \omega_{1})となる式である。τ\tauは結局のところ「いつかイベントが起こるかもしれない」と示す確率変数であり、“停止時間"と呼ばれる前に、すべてのω∈Ω\omega \in \Omegaをそれぞれ何らかのn∈N0n \in \mathbb{N}_{0}にマッピングする「関数」である。直感的な理解に固執してこの点を忘れると、停止時間を用いる全ての式展開が苦痛になる。よく覚えておこう。