📂確率分布論

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係

定理

$$ \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r) $$

説明

ガンマ分布とカイ二乗分布は、上記のような性質を持っている。

証明

戦略：二つの分布のモーメント生成関数が同じ形で表現できることを示す。

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カイ二乗分布の$\chi ^2 (r)$のモーメント生成関数は$\displaystyle m_{1}(t) = (1- 2t)^{- {r \over 2} }$であり、ガンマ分布の$\Gamma (k, \theta)$のモーメント生成関数は$m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k}$である。ガンマ分布のモーメント生成関数に$\displaystyle k = {r \over 2}$と$\theta = 2$を代入すると、 $$ m_{2}(t) = (1-\theta t)^{-k} = (1- 2t)^{- {r \over 2} } =m_{1}(t) $$

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