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マルチンゲールの定義 📂確率論

マルチンゲールの定義

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられたとする。

  1. F\mathcal{F} のサブσフィールドのシーケンス {Fn}n∈N\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が以下を満たす場合、フィルトレーションfiltrationと呼ぶ。 ∀n∈N,Fn⊂Fn+1 \forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}
  2. フィルトレーション {Fn}n∈N\left\{ \mathcal{F}_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が与えられた時、ルベーグ可積分な Fn\mathcal{F}_{n}-可測確率変数 XnX_{n} のシーケンス {Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が形成する順序対のシーケンス {(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} が以下を満たす場合、マルチンゲールと言う。 ∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)=Xn \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n}
  • Fn\mathcal{F}_{n} が F\mathcal{F} のサブσフィールドであるとは、両方とも Ω\Omega のσフィールドであるが、Fn⊂F\mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F} を意味する。
  • XnX_{n} が Fn\mathcal{F}_{n}-可測関数であるとは、全てのボレル集合 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) に対して Xn−1(B)∈FnX_{n}^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{n} であることを意味する。

説明

それぞれ サブマルチンゲール、スーパーマルチンゲールとは以下のように言う。不等式は右辺が小さくなるとサブ、大きくなるとスーパーと覚えると混乱しない。 ∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)≥Xn∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)≤Xn \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \ge X_{n} \\ \forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \le X_{n} もちろん、サブマルチンゲールでありスーパーマルチンゲールでもある場合は、マルチンゲールと同等である。だから、サブマルチンゲールもしくはスーパーマルチンゲールに当てはまる定理があれば、マルチンゲールにもそのまま適用できる。

マルチンゲールを直感的に理解することは、σフィールドを事件の集合、「情報」として考えることから始まる：

  1. フィルトレーション：∀n∈N,Fn⊂Fn+1\forall n \in \mathbb{N}, \mathcal{F}_{n} \subset \mathcal{F}_{n+1}、つまりσフィールドが大きいということは、それだけ多くの情報があるという意味だ。マルチンゲールの定義では、プロセス XnX_{n} が Fn\mathcal{F}_{n}-可測であることは、実際のデータ xnx_{n} が観測されるにつれてσフィールド Fn\mathcal{F}_{n} も広がりnn 回までの全ての情報を得たと見なしてもよいということだ。
  2. マルチンゲール：∀n∈N,E(Xn+1∣Fn)=Xn\forall n \in \mathbb{N}, E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) = X_{n} とは、nn 回までの情報 Fn\mathcal{F}_{n} を知っている時、次の状況である Xn+1X_{n+1} もXnX_{n} と似ていると仮定することを意味する。Xn+1X_{n+1} の期待値がこれまでに得た Fn\mathcal{F}_{n} とは無関係に算出されるのであれば、このような確率過程はホワイトノイズと変わらないし、統計的分析の対象にはならない。だから、マルチンゲールの直感的な定義は「私たちが何か有利な情報を持っていて、数学的、統計的により良い結果を知ることができる確率過程」と言える。

起源

「マルティグ」のフランスの村では、いわゆる「二倍返し戦略」が流行していた。一回負けたら、その損失を補うためにより大きな賭けを繰り返す方式で、心理的な面はさておき、これが本当に賢い戦略かどうか考える必要がある。数学的に見ると、このような戦略の本質は E(Xn+1∣X1,⋯ ,Xn)=Xn+1 E \left( X_{n+1} | X_{1} , \cdots , X_{n} \right) = X_{n+1} の式で要約できる。「これまでずっと負けてきたから、今回は勝つだろう」と賭博師の誤謬を指摘し、なぜマルチンゲールベッティングが意味をなさないかを説明する。

例

(1)

自己回帰過程 AR(1)AR(1) Xn+1=Xn+εnX_{n+1} = X_{n} + \varepsilon_{n} を考えよう。フィルトレーションが与えられている場合、XnX_{n} に対する情報をすべて知っているので、条件付き期待値の性質により E(Xn+1∣Fn)=E(Xn+εn∣Fn)=E(Xn∣Fn)+E(εn∣Fn)=Xn+E(εn∣Fn)=Xn+E(εn)=Xn \begin{align*} E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) =& E \left( X_{n} + \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& E \left( X_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E \left( \varepsilon_{n} | \mathcal{F}_{n} \right) \\ =& X_{n} + E ( \varepsilon_{n} ) \\ =& X_{n} \end{align*} となるので、{(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} はマルチンゲールとなる。

(2)

{Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} が互いに独立であり、E(Xn)=0E(X_{n}) = 0 であり、Sn:=∑i=1nXi\displaystyle S_{n}:= \sum_{i =1}^{n} X_{i} とする。その場合 E(Sn+1∣Fn)=Sn+E(Xn+1∣Fn)=Sn+E(Xn+1)=Sn+0 \begin{align*} E(S_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) =& S_{n} + E( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} ) \\ =& S_{n} + E( X_{n+1} ) \\ =& S_{n} + 0 \end{align*} となるので、{(Sn,Fn)}\left\{ (S_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} はマルチンゲールとなる。

一方で、マルチンゲールと凸関数 ϕ\phi が与えられた場合、上記のようにサブマルチンゲールを作り出すことができる。

定理

マルチンゲール {(Xn,Fn)}\left\{ (X_{n}, \mathcal{F}_{n}) \right\} と凸関数 ϕ:R→R\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} に対して、(ϕ(Xn),Fn)( \phi (X_{n}) , \mathcal{F}_{n} ) はサブマルチンゲールである。

証明

条件付きジェンセンの不等式：確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とサブσフィールド G⊂F\mathcal{G} \subset \mathcal{F} が与えられ、XXが確率変数であるとする。凸関数 ϕ:R→R\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R} と ϕ(X)∈L1(Ω)\phi (X) \in \mathcal{L}^{1} ( \Omega ) に対して ϕ(E(X∣G))≤E(ϕ(X)∣G) \phi \left( E \left( X | \mathcal{G} \right) \right) \le E \left( \phi (X) | \mathcal{G} \right)

条件付きジェンセンの不等式により E(ϕ(Xn+1)∣Fn)≥ϕ(E(Xn+1∣Fn))=ϕ(Xn) E \left( \phi (X_{n+1}) | \mathcal{F}_{n} \right) \ge \phi \left( E \left( X_{n+1} | \mathcal{F}_{n} \right) \right) = \phi ( X_{n} )

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結論

この定理の結論として、p≥1p \ge 1 を ϕ(x)=∣x∣p\phi (x) = | x |^{p} として設定すると、{∣Xn∣p,Fn}\left\{ |X_{n}|^p , \mathcal{F}_{n} \right\} は常にサブマルチンゲールであることが分かる。

関連項目

様々なフィルトレーション

A1⊂A2⊂⋯⊂An⊂⋯ A_{1} \subset A_{2} \subset \cdots \subset A_{n} \subset \cdots 一般的に数学全般で、上記のようなネステッドシーケンスnested Sequenceを形成する構造をフィルトレーションfiltrationと使用する。