無限公理

公理

$$ \exists U \left( \emptyset \in U \land \forall X ( X \in U \implies S(X) \in U) \right) $$ 空集合と$X$を要素として持ち、$S(X)$も要素として持つ集合$U$が存在する。

集合$X$に対して、$S(X)$は$S(X):= X \cup \left\{ X \right\}$と同じように定義される集合である。

説明

なぜこれが無限公理と呼ばれるのかを長々と説明するより、自然数集合$\mathbb{N}$の存在性を証明することが良いだろう。

定理：自然数集合の存在性

$\mathbb{N}$は存在する。

証明

戦略：フォン・ノイマンが提案した構築法を用い、自然数自体を集合と対応させて自然数の集合$\mathbb{N}$を直接構築する。これにより、$\mathbb{N}$は存在し、同時に自然数の性質も即座に有する。

空集合$\emptyset$とその$S(n)$について、次のように定義しよう。 $$ 0 : = \emptyset \\ ( n + 1 ):= S(n) = n \cup \left\{ n \right\} $$ すると $$ 1 = 0+1 = S ( 0 ) = \left\{ 0 \right\} \\ 2 = 1+1 = S ( 1 ) = \left\{ 0, \left\{ 0 \right\} \right\} = \left\{ 0, 1 \right\} \\ 3 = 2+1 = S ( 2 ) = \left\{ 0, \left\{ 0 \right\}, \left\{ 0, \left\{ 0 \right\} \right\} \right\} = \left\{ 0, 1, 2 \right\} \\ \vdots $$ 無限公理により、$\mathbb{N} = \left\{ 1, 2, 3, \cdots \right\}$は次の性質を満たしながら存在する。 $$ n_{1} \in n_{2} \iff n_{1} < n_{2} \\ n_{1} \subset n_{2} \iff n_{1} \le n_{2} $$

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自然数が無限に多いという主張はどうあれ真実だろうが、実際にこの宇宙の誰もが無限に多い自然数を見たことはない。いくら長く、一貫して、多くの自然数を探しても、無限集合が存在することを帰納的に証明することは不可能だ。無限公理はこのような無限を説明するために導入されたものであり、直感的にこれを拒否する理由は全くないだろう。