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条件付き期待値の平滑化特性 📂確率論

条件付き期待値の平滑化特性

定理

与えられた確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ とサブ・シグマフィールド $\mathcal{G}, \mathcal{G} ' \subset \mathcal{F}$に、$X$ と$Y$が確率変数だとしよう。

  • $$ E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} $$
  • 2: $\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}$ならば $$ \begin{align*} E (X | \mathcal{G} ') =& E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right) \\ =& E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right) \end{align*} $$
  • $\mathcal{G}$が$\mathcal{F}$のサブ・シグマフィールドであるとは、両者が$\Omega$のシグマフィールドであり、$\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$であることを意味する。
  • $X$が$\mathcal{G}$-可測関数であるとは、全てのボレル集合 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$に対して$X^{-1} (B) \in \mathcal{G}$であることを意味する。

説明

条件付き期待値を扱う際、シグマフィールドは確率変数に関する「情報」と見なせる。特に、スムージングプロパティは、数式的な証明に固執するよりも、直感的な説明をちゃんと理解するべきだ：

    • $E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right)$: $\mathcal{G}$が$X$に関してたくさんの情報を提供しても、$\mathcal{G} ' $の情報が足りないため、結局$\mathcal{G} ' $レベルの期待値を得たと見ることができる。
    • $E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right)$: $\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}$は、$\mathcal{G} ' $が$X$について知っている情報は$\mathcal{G}$も全て知っているという意味であり、$\mathcal{G} ' $が$X$について提供する情報は既に知っているものだから、$\mathcal{G} ' $レベルの期待値を得たと見ること가できる。

証明

1

戦略: 指示関数から始めてシンプル関数に一般化し、任意の関数を非負の関数で表現するトリックを利用して正の場合に持ち込む。

Part 1. $M \in \mathcal{G}$, $X = \mathbb{1}_{M}$

全ての$A \in \mathcal{G}$に対して $$ \begin{align*} \int_{A} E ( XY | \mathcal{G} ) dP =& \int_{A} XY dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{M} Y dP \\ =& \int_{A \cap M} Y dP \\ =& \int_{A \cap M} E(Y | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{M} E(Y | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} X E(Y | \mathcal{G}) dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$により $$ E ( XY | \mathcal{G} ) = X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} $$

Part 2. $M \in \mathcal{G}$, $\displaystyle X = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}}$

$$ \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \end{align*} $$ ここでPart 1により$E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) = \mathbb{1}_{M_{i}} E( Y | \mathcal{G} )$なので $$ \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}} E( Y | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*} $$

Part 3. $X \ge 0$, $Y \ge 0$

$X$に対して$X_{n} \nearrow X$を満たすシンプル関数の数列 $\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$を次のように定義する。 $$ X_{n} := \sum_{k=1}^{n 2^n } {{k-1} \over {2^n}} \mathbb{1}_{ \left( {{k-1} \over {2^n}} \le X < {{k} \over {2^n}} \right)} $$ すると$X_{n}$も$\mathcal{G}$-可測であり、$X_{n} Y \nearrow XY$が当てはまる。$X_{n}$はPart 2に従って$E$を通り抜けることができるので、条件付き単調収束定理により $$ \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E \left( \lim_{n \to \infty} X_{n} Y | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} E \left( X_{n} Y | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} X_{n} E \left( Y | \mathcal{G} \right) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*} $$

Part 4. $X \ge 0$

$Y:= Y^{+} - Y^{-}$とするとPart 3により $$ \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E(XY^{+} | \mathcal{G} ) - E(XY^{-} | \mathcal{G} ) \\ =& XE(Y^{+} | \mathcal{G} ) - XE(Y^{-} | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*} $$

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Part 5. その他

$X := X^{+} - X^{-}$とするとPart 4により $$ \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E(X^{+}Y | \mathcal{G} ) - E(X^{-}Y | \mathcal{G} ) \\ =& X^{+}E(Y | \mathcal{G} ) - X^{-}E(Y | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*} $$

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2

Part 1. $E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right)$

全ての$A \in \mathcal{G} ' $に対して $$ \begin{align*} \int_{A} E (X | \mathcal{G} ') dP =& \int_{A} X dP \\ =& \int_{A} E(X | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} E \left( E(X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right) dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$により $$ E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right) $$

Part 2. $E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right)$

$\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}$であるため、1により $$ \begin{align*} E (X | \mathcal{G} ') =& E (X | \mathcal{G} ') \cdot E (1 | \mathcal{G}) \\ =& E \left( E ( X | \mathcal{G} ') \cdot 1 | \mathcal{G} \right) \end{align*} $$

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