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条件付き期待値の平滑化特性 📂確率論

条件付き期待値の平滑化特性

定理

与えられた確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) とサブ・シグマフィールド G,G′⊂F\mathcal{G}, \mathcal{G} ' \subset \mathcal{F}に、XX とYYが確率変数だとしよう。

  • E(XY∣G)=XE(Y∣G) a.s. E(XY | \mathcal{G}) = X E (Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}
  • 2: G′⊂G\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}ならば E(X∣G′)=E(E(X∣G)∣G′)=E(E(X∣G′)∣G) \begin{align*} E (X | \mathcal{G} ') =& E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right) \\ =& E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right) \end{align*}
  • G\mathcal{G}がF\mathcal{F}のサブ・シグマフィールドであるとは、両者がΩ\Omegaのシグマフィールドであり、G⊂F\mathcal{G} \subset \mathcal{F}であることを意味する。
  • XXがG\mathcal{G}-可測関数であるとは、全てのボレル集合 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})に対してX−1(B)∈GX^{-1} (B) \in \mathcal{G}であることを意味する。

説明

条件付き期待値を扱う際、シグマフィールドは確率変数に関する「情報」と見なせる。特に、スムージングプロパティは、数式的な証明に固執するよりも、直感的な説明をちゃんと理解するべきだ：

    • E(X∣G′)=E(E(X∣G)∣G′)E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right): G\mathcal{G}がXXに関してたくさんの情報を提供しても、G′\mathcal{G} ' の情報が足りないため、結局G′\mathcal{G} ' レベルの期待値を得たと見ることができる。
    • E(X∣G′)=E(E(X∣G′)∣G)E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right): G′⊂G\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}は、G′\mathcal{G} ' がXXについて知っている情報はG\mathcal{G}も全て知っているという意味であり、G′\mathcal{G} ' がXXについて提供する情報は既に知っているものだから、G′\mathcal{G} ' レベルの期待値を得たと見ること가できる。

証明

1

戦略: 指示関数から始めてシンプル関数に一般化し、任意の関数を非負の関数で表現するトリックを利用して正の場合に持ち込む。

Part 1. M∈GM \in \mathcal{G}, X=1MX = \mathbb{1}_{M}

全てのA∈GA \in \mathcal{G}に対して ∫AE(XY∣G)dP=∫AXYdP=∫A1MYdP=∫A∩MYdP=∫A∩ME(Y∣G)dP=∫A1ME(Y∣G)dP=∫AXE(Y∣G)dP \begin{align*} \int_{A} E ( XY | \mathcal{G} ) dP =& \int_{A} XY dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{M} Y dP \\ =& \int_{A \cap M} Y dP \\ =& \int_{A \cap M} E(Y | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{M} E(Y | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} X E(Y | \mathcal{G}) dP \end{align*} ∀A∈F,∫Afdm=0  ⟺  f=0 a.e.\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}により E(XY∣G)=XE(Y∣G) a.s. E ( XY | \mathcal{G} ) = X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.}

Part 2. M∈GM \in \mathcal{G}, X=∑i=1nai1Mi\displaystyle X = \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}}

E(XY∣G)=E(∑i=1nai1MiY∣G)=∑i=1naiE(1MiY∣G) \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E( \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \end{align*} ここでPart 1によりE(1MiY∣G)=1MiE(Y∣G)E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) = \mathbb{1}_{M_{i}} E( Y | \mathcal{G} )なので E(XY∣G)=∑i=1naiE(1MiY∣G)=∑i=1nai1MiE(Y∣G)=XE(Y∣G) a.s. \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} E( \mathbb{1}_{M_{i}} Y | \mathcal{G} ) \\ =& \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mathbb{1}_{M_{i}} E( Y | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*}

Part 3. X≥0X \ge 0, Y≥0Y \ge 0

XXに対してXn↗XX_{n} \nearrow Xを満たすシンプル関数の数列 {Xn}n∈N\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}を次のように定義する。 Xn:=∑k=1n2nk−12n1(k−12n≤X<k2n) X_{n} := \sum_{k=1}^{n 2^n } {{k-1} \over {2^n}} \mathbb{1}_{ \left( {{k-1} \over {2^n}} \le X < {{k} \over {2^n}} \right)} するとXnX_{n}もG\mathcal{G}-可測であり、XnY↗XYX_{n} Y \nearrow XYが当てはまる。XnX_{n}はPart 2に従ってEEを通り抜けることができるので、条件付き単調収束定理により E(XY∣G)=E(lim⁡n→∞XnY∣G)=lim⁡n→∞E(XnY∣G)=lim⁡n→∞XnE(Y∣G)=XE(Y∣G) a.s. \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E \left( \lim_{n \to \infty} X_{n} Y | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} E \left( X_{n} Y | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} X_{n} E \left( Y | \mathcal{G} \right) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*}

Part 4. X≥0X \ge 0

Y:=Y+−Y−Y:= Y^{+} - Y^{-}とするとPart 3により E(XY∣G)=E(XY+∣G)−E(XY−∣G)=XE(Y+∣G)−XE(Y−∣G)=XE(Y∣G) a.s. \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E(XY^{+} | \mathcal{G} ) - E(XY^{-} | \mathcal{G} ) \\ =& XE(Y^{+} | \mathcal{G} ) - XE(Y^{-} | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*}

–

Part 5. その他

X:=X+−X−X := X^{+} - X^{-}とするとPart 4により E(XY∣G)=E(X+Y∣G)−E(X−Y∣G)=X+E(Y∣G)−X−E(Y∣G)=XE(Y∣G) a.s. \begin{align*} E(XY | \mathcal{G} ) =& E(X^{+}Y | \mathcal{G} ) - E(X^{-}Y | \mathcal{G} ) \\ =& X^{+}E(Y | \mathcal{G} ) - X^{-}E(Y | \mathcal{G} ) \\ =& X E(Y | \mathcal{G}) \text{ a.s.} \end{align*}

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2

Part 1. E(X∣G′)=E(E(X∣G)∣G′)E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right)

全てのA∈G′A \in \mathcal{G} ' に対して ∫AE(X∣G′)dP=∫AXdP=∫AE(X∣G)dP=∫AE(E(X∣G)∣G′)dP \begin{align*} \int_{A} E (X | \mathcal{G} ') dP =& \int_{A} X dP \\ =& \int_{A} E(X | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} E \left( E(X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right) dP \end{align*} ∀A∈F,∫Afdm=0  ⟺  f=0 a.e.\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}により E(X∣G′)=E(E(X∣G)∣G′) E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G}) | \mathcal{G} ' \right)

Part 2. E(X∣G′)=E(E(X∣G′)∣G)E (X | \mathcal{G} ') = E \left( E ( X | \mathcal{G} ') | \mathcal{G} \right)

G′⊂G\mathcal{G} ' \subset \mathcal{G}であるため、1により E(X∣G′)=E(X∣G′)⋅E(1∣G)=E(E(X∣G′)⋅1∣G) \begin{align*} E (X | \mathcal{G} ') =& E (X | \mathcal{G} ') \cdot E (1 | \mathcal{G}) \\ =& E \left( E ( X | \mathcal{G} ') \cdot 1 | \mathcal{G} \right) \end{align*}

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