条件付き確率の性質들
定理
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ とサブシグマフィールド $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ が与えられているとする。
- [1] すべての $B \in \mathcal{G}$ に対して、$0 \le P(B | \mathcal{G}) \le 1$ がある。
- [2] 確率の連続性：ネストしたシーケンス $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G}$ に対して $$ \lim_{n \to \infty} B_{n} = B \implies P ( B_{n} | \mathcal{G} ) \to P ( B | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} $$
- [3] $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が $\Omega$ のパーティションであれば $$ P \left( \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n} | \mathcal{G} \right)= \sum_{n \in \mathbb{N}} P \left( B_{n} | \mathcal{G} \right) $$
- イベントのシーケンス $\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{G}$ がネストしているとは、以下の二つの性質のどちらかを持っているという意味である。 $$ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1} \iff B_{n} \subset B_{n+1} \subset \cdots \\ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n-1} \iff B_{n} \subset B_{n-1} \subset \cdots $$
- ネストしたシーケンスは、あるイベント $B \in \mathcal{G}$ に対して以下のような性質を持つことができる。 $$ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1} \land \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = B \implies \lim_{n \to \infty} B_{n} = B \\ \forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n-1} \land \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n} = B \implies \lim_{n \to \infty} B_{n} = B $$
- $\bigsqcup$ は相互排他的な集合同士の和集合を意味する記号である。
証明
[1]
$P$ は確率であるから、条件付き確率と条件付き期待値の定義に従って、すべての $A \in \mathcal{G}$ に対して $$ \begin{align*} \int_{A} 0 dP \le & \int_{A} P(B | \mathcal{G}) dP \\ =& \int_{A} E ( \mathbb{1}_{B} | \mathcal{G} ) dP \\ =& \int_{A} \mathbb{1}_{B} dP \\ \le & \int_{A} 1 dP \end{align*} $$ $\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}$ であるため、$0 \le P(B | \mathcal{G}) \le 1$
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[2]
$\forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1}$ の場合のみ成立することを示せば、$B_{n} := \Omega \setminus A_{n}$ を設定することで、$\forall n \in \mathbb{N}, A_{n} \subset A_{n-1}$ の場合も成立することを示せる。$\forall n \in \mathbb{N}, B_{n} \subset B_{n+1}$ と仮定すると、条件付き確率の定義と条件付き単調収束定理に従って $$ \begin{align*} \lim_{n \to \mathbb{N}} P(B_{n} | \mathcal{G}) \color{red}{=}& \lim_{n \to \infty} E ( \mathbb{1}_{B_{n}} | \mathcal{G} ) \\ \color{blue}{=}& E \left( \lim_{n \to \infty} \mathbb{1}_{B_{n}} | \mathcal{G} \right) \\ =& E \left( \mathbb{1}_{B} | \mathcal{G} \right) \\ \color{red}{=}& P(B | \mathcal{G} ) \end{align*} $$
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[3]
$\left\{ B_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ が $\Omega$ のパーティションであれば、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} \subset \bigsqcup_{k=1}^{n+1} B_{k}$ であるから、[2]の確率の連続性により $$ \begin{align*} P \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} B_{n} | \mathcal{G} \right) =& P \left( \lim_{n \to \infty} \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} P \left( \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} E \left( \mathbb{1}_{\bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k}} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} E \left( \mathbb{1}_{B_{k}} | \mathcal{G} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} P \left( B_{k} | \mathcal{G} \right) \\ =& \sum_{n=1}^{\infty} P \left( B_{n} | \mathcal{G} \right) \end{align*} $$
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