フレシェ微分

定義

二つのバナッハ空間 $X, Y$と開集合 $\Omega \subset X$が与えられたとする。すると、関数$F : \Omega \to Y$に対して下の条件を満たす有界線形写像 $L : X \to Y$が存在する時、$F$が$x\in \Omega$でフレシェ微分可能^{Frechet differentiable}と言われる。

$$ \lim \limits_{ \left\| y \right \| \to 0} \frac{\| F(x+y) -F(x)-Ly \|}{\|y\|}=0 $$

この時、このような線形変換$L$は唯一であり、$L$を$x$での$F$のフレシェ導関数^{Frechet derivative of $F$ at $x$}と言い、下のように表記する。

$$ L = DF(x) = F^{\prime}(x) $$

説明

フレシェ導関数は、全導関数^{total derivative}をバナッハ空間に一般化したものだ。

ノルム空間を扱うことが自明の時は、フレシェを省略して単に微分可能、導関数と簡単に言う。また、$y \to 0 \implies \|y\| \to 0$であるので、下のように表現しても問題ない。

$$ \lim \limits_{ y \to 0} \frac{\| F(x+y) -F(x)-Ly \|}{\|y\|}=0 $$