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条件付き単調収束定理の証明 📂確率論

条件付き単調収束定理の証明

定理

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられているとする。

確率変数シーケンス {Xn}nN\left\{ X_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}XL1(Ω)X \in \mathcal{L}^{1} (\Omega)について X1X2XXnX a.s. X_{1} \le X_{2} \le \cdots \le X \\ X_{n} \to X \text{ a.s.} ならば limnE(XnG)=E(limnXnG) a.s. \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}


説明

条件付き単調収束定理は、単に単調収束定理mCT条件付き期待値に対しても同様に適用されると言っているだけで、確率論での役割もMCTと同じである。

証明

戦略:単調収束定理を利用して\displaystyle \intの内外にlimn\displaystyle \lim_{n \to \infty}をはさみ込み、期待値の定義を調整してEEを足したり消したりしながら、被積分関数を同じにする。


パート1. X10X_{1} \ge 0

単調収束定理により、全てのAGA \in \mathcal{G}に対して AlimnE(XnG)dP=limnAE(XnG)dP=limnAXndP=AlimnXndP=AE(limnXnG)dP \begin{align*} \int_{A} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP \color{red}{=}& \lim_{n \to \infty} \int_{A} E( X_{n} | \mathcal{G} ) dP \\ =& \lim_{n \to \infty} \int_{A} X_{n} dP \\ \color{red}{=}& \int_{A} \lim_{n \to \infty} X_{n} dP \\ =& \int_{A} E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) d P \end{align*} である。$ AF,Afdm=0    f=0 a.e.\displaystyle \forall A \in \mathcal{F}, \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} 이므로 limnE(XnG)=E(limnXnG) a.s. \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.}


Part 2. X1<0X_{1} < 0

Yn:=XnX1Y_{n} := X_{n} - X_{1} 이 확률 변수 Y=XX1Y = X - X_{1} 에 대해 YnYY_{n} \nearrow Y 라고 하면 Y10Y_{1} \ge 0 なので、パート1.により limnE(YnG)=E(limnYnG) a.s. \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) = E( \lim_{n \to \infty} Y_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} である。それにより、条件付き期待値の線形性から次を得る。 limnE(XnG)=limnE(Yn+X1G)=limnE(YnG)+E(X1G)=E(XX1G)+E(X1G)=E(XX1+X1G)=E(limnXnG) a.s. \begin{align*} \lim_{n \to \infty} E( X_{n} | \mathcal{G} ) =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& \lim_{n \to \infty} E( Y_{n} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} | \mathcal{G} ) + E( X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( X - X_{1} + X_{1} | \mathcal{G} ) \\ =& E( \lim_{n \to \infty} X_{n} | \mathcal{G} ) \text{ a.s.} \end{align*}

参照