一様C^m-正則性条件

定義¹

もし$\mathrm{bdry}\Omega$の局所有限開被覆$\left\{ U_{j} \right\}$が存在し、それに対応する$U_{j}$を球$B=\left\{ y\in \mathbb{R}^n : |y| \lt 1 \right\}$へ送る$m$-スムーズ変換の列$\left\{ \Phi_{j} \right\}$と、$\text{(i)}$〜$\text{(iv)}$を満たす逆変換$\Psi _{j}=\Phi_{j}^{-1}$が存在するならば、開集合$\Omega \subset \mathbb{R}^n$は一様$C^{m}$-正則性条件を満たすと言われる。

$\text{(i)}$ ある$\delta >0$に対して、$\Omega_{<\delta}$$\subset \bigcup \nolimits_{j=1}^\infty \Psi \Big( \left\{y\in \mathbb{R}^n : |y| \lt \frac{1}{2} \right\} \Big)$が真である。

$\text{(ii)}$ それぞれの$j$に対して、$\Phi_{j}(U_{j} \cap \Omega )=\left\{ y \in B : y_{n} \gt 0 \right\}$

$\text{(iii)}$ もし$(\phi_{j,1}, \dots, \phi_{j,n})$と$(\psi_{j,1}, \dots, \psi_{j,n})$が$\Phi_{j}$と$\Psi_{j}$の要素である場合、全ての$\alpha$、$1\le i \le n$、及び全ての$j$に対して、以下の条件を満たす正の定数$M$が存在する：

$$| D^{\alpha} \phi_{j,i}(x) | \le M,\quad x\in U_{j} \\ | D^{\alpha} \psi_{j,i}(y) | \le M,\quad y\in B$$

$\text{(iv)}$ ある正の定数$R$が存在し、$U_{j}$の$R+1$個の全てのコレクションの交差は空集合である。