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測度論で定義される確率変数の条件付き確率 📂確率論

測度論で定義される確率変数の条件付き確率

定義

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) が与えられているとする。

  1. G\mathcal{G} が F\mathcal{F} のサブシグマフィールドである場合、事象 F∈FF \in \mathcal{F} に対して P(F∣G):=E(1F∣G) P(F | \mathcal{G}) := E ( \mathbb{1}_{F} | \mathcal{G}) を G\mathcal{G} についての FF の条件付き確率と呼ぶ。
  2. 次のように定義された fY∣X=xf_{Y | X =x} を X=xX=x の場合の YY の条件付き密度と呼ぶ。 fY∣X=x(y∣X=x):=∂∂yP(Y≤y∣X=x) f_{Y | X = x} (y | X = x) := {{\partial } \over {\partial y }} P( Y \le y | X = x)
  • 測度論を触れたことがなければ、確率空間という言葉は無視してもいいが、測度論の知識が全くないと、このポストの内容を正しく理解することはほとんど不可能だ。
  • G\mathcal{G} が F\mathcal{F} のサブシグマフィールドであることは、両者が Ω\Omega のシグマフィールドであり、G⊂F\mathcal{G} \subset \mathcal{F} であることを意味する。

説明

測度論が導入された条件付き確率は、条件付き期待値によって定義される。

一方、確率変数 XX によって生成される Ω\Omega の最も小さいシグマフィールド σ(X)={X−1(B):B∈B(R)}\sigma (X) = \left\{ X^{-1} (B) : B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\} について、次のような馴染み深い表現を使用する。 E(Y∣X):=E(Y∣σ(X)) E(Y|X) := E \left( Y | \sigma (X) \right) そして、確率や期待値のカッコ内で、Y≤yY \le y は次のような事象を意味する。 (Y≤y):={ω∈B:Y(B)≤y,B∈B(R)}∈F (Y \le y) := \left\{ \omega \in B : Y(B) \le y , B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\} \in \mathcal{F} これらの表記を使用して、条件付き確率 fY∣X=x(y∣X=x)=f(x,y)fX(x)\displaystyle f_{Y | X = x} (y | X = x) = {{ f(x,y) } \over { f_{X} (x) }} を導出してみよう。

導出

条件付き確率の期待値の条件により、P(Y≤∣X)=E(1(Y≤y)∣X)=E(1(Y≤y)∣σ(X))P(Y \le | X ) = E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | X \right) = E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | \sigma (X) \right) は当然 σ(X)\sigma (X)-可測である。もちろん、XX、YY は結合密度 f(x,y):=f(X,Y)(x,y)f(x,y) := f_{(X,Y)} (x,y) を持つと仮定している。

全ての ボレル集合 B∈B(R)B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) と F=X−1(B)F = X^{-1}(B) に対して ∫FP(Y≤y∣X)dP=∫FE(1(Y≤y)∣X)dP=∫F1(Y≤y)dP=∫F1(Y≤y)1FdP=E(1(Y≤y)1F)=∬1F1(Y≤y)f(x,u)dudx=∫x∈F∫−∞yf(x,u)dudx=∫x∈F∫−∞yf(x,u)fX(x)fX(x)dudx=∫x∈F∫−∞yf(x,u)fX(x)dufX(x)dx=E(∫−∞yf(X,u)fX(X)du)=∫F∫−∞yf(X,u)fX(X)dudP \begin{align*} \int_{F} P(Y \le y | X ) dP =& \int_{F} E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} | X \right) dP \\ =& \int_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} dP \\ =& \int_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} \mathbb{1}_{F} dP \\ =& E \left( \mathbb{1}_{(Y \le y)} \mathbb{1}_{F} \right) \\ =& \iint \mathbb{1}_{F} \mathbb{1}_{(Y \le y)} f(x,u) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} f(x,u) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(x,u) } \over { f_{X} (x) }} f_{X} (x) du dx \\ =& \int_{x \in F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(x,u) } \over { f_{X} (x) }} du f_{X} (x) dx \\ =& E \left( \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du \right) \\ =& \int_{F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du dP \end{align*}

ルベーグ積分の性質: ∫Afdm=0  ⟺  f=0 a.e. \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}

まとめると、∫FP(Y≤y∣X)dP=∫F∫−∞yf(X,u)fX(X)dudP\displaystyle \int_{F} P(Y \le y | X ) dP = \int_{F} \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du dP であるから、ほとんど確実に P(Y≤y∣X)=∫−∞yf(X,u)fX(X)du P(Y \le y | X ) = \int_{-\infty}^{y} {{ f(X,u) } \over { f_{X} (X) }} du である。最後に微積分学の基本定理に従って fY∣X=x(y∣X=x)=∂∂yP(Y≤y∣X=x)=f(x,y)fX(x) a.s. \begin{align*} f_{Y|X=x} ( y | X=x ) =& {{ \partial } \over { \partial y }} P(Y \le y | X=x ) \\ =& {{ f(x,y) } \over { f_{X} (x) }} \text{ a.s.} \end{align*}

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参考