強い局所リプシッツ条件

定義¹

ある局所的に有限な開被覆$\left\{ U_{j} \right\}$が$\delta \gt 0$、$M \gt 0$、そして$\mathrm{bdry}\Omega$のために存在し、それぞれの$j$に対して$n-1$変数を持つ実数値の関数$f_{j}$が$\text{(i)}$ ~ $\text{(iv)}$を満たすならば、オープンセット$\Omega \subset \mathbb{R}^n$は強い局所リプシッツ条件^{strong local Lipschitz condition}を満たすと言われます。

$|x-y| \lt \delta$を満たす全ての組み合わせ$x,y\in$$\Omega_{\lt \delta}$に対して、下記の条件を満たす$j$が存在します。

$$x,y\in V_{j}=U_{j\gt\delta}=\left\{ z\in U_{j} : \mathrm{dist}(z,\ \mathrm{bdry}U_{j}) \gt \delta\right\}$$

$\text{(ii)}$ 各関数$f_{j}$がリプシッツ定数$M$でリプシッツ条件を満たす。すなわち、もし

$$|f(\xi)-f(\rho)|\le M|\xi-\rho|$$

$\text{(iii)}$ ある直交座標系$(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n})\in U_{j}$において、$\Omega \cap U_{j}$が以下の不等式で表される。

$$\zeta_{j,n} \gt f_{j}(\zeta_{j,1},\ \cdots,\ \zeta_{j,n-1})$$

$\text{(iv)}$ ある正の数$R$が存在し、セット$U_{j}$の$R+1$個の全てのコレクションの交差は空集合である。