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可測空間の分割と細分化 📂測度論

可測空間の分割と細分化

定義

可算空間 (Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) が与えられたとする。

(Ω,F)( \Omega , \mathcal{F} ) に対して i=1kAi=Ω\displaystyle \bigsqcup_{i=1}^{k} A_{i} = \Omega を満たすP:={AiF:i1i2    Ai1Ai2=}i=1k\mathcal{P} : = \left\{ A_{i} \in \mathcal{F} : i_{1} \ne i_{2} \implies A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} = \emptyset \right\}_{i=1}^{k} それを可測空間 Ω\Omega有限(可測)分割という。全ての AiPA_{i} \in \mathcal{P} に対して Ai=jJBj\displaystyle A_{i} = \bigsqcup_{j \in J} B_{j} を満たす BjPB_{j} \in \mathcal{P} ' が存在する場合、P\mathcal{P} ' P\mathcal{P}細分という。


  • \displaystyle \bigsqcup は互いに素な集合の合併を意味する。

説明

リーマン和を定義するときの分割と本質的に違いはない。細分とは、簡単に言えば、より細かく分けられた分割を意味する。