可測空間の分割と細分化
定義
可算空間 $( \Omega , \mathcal{F} )$ が与えられたとする。
$( \Omega , \mathcal{F} )$ に対して $\displaystyle \bigsqcup_{i=1}^{k} A_{i} = \Omega$ を満たす$$\mathcal{P} : = \left\{ A_{i} \in \mathcal{F} : i_{1} \ne i_{2} \implies A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}} = \emptyset \right\}_{i=1}^{k}$$ それを可測空間 $\Omega$ の有限（可測）分割という。全ての $A_{i} \in \mathcal{P}$ に対して $\displaystyle A_{i} = \bigsqcup_{j \in J} B_{j}$ を満たす $B_{j} \in \mathcal{P} ' $ が存在する場合、$\mathcal{P} ' $ を $\mathcal{P}$ の細分という。
- $\displaystyle \bigsqcup$ は互いに素な集合の合併を意味する。
説明
リーマン和を定義するときの分割と本質的に違いはない。細分とは、簡単に言えば、より細かく分けられた分割を意味する。