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測度の一般的な定義 📂測度論

測度の一般的な定義

定義

可測空間 (X,E)(X,\mathcal{E})が与えられたとしよう。以下の三条件を満たす拡張実数値を持つ関数μ:ER\mu : \mathcal{E} \to \overline{\mathbb{R}}測度だという。

(a) μ()=0\mu ( \varnothing ) = 0

(b) μ(E)0,EE\mu (E) \ge 0,\quad \forall E\in \mathcal{E}

(c) {Ej}\left\{E_{j}\right\}E\mathcal{E}の中で互いに素な集合の数列としよう。すると、次が成り立つ。

μ(j=1Ej)=j=1μ(Ej) \mu \left( \bigcup _{j=1}^\infty E_{j} \right) =\sum \limits_{j=1}^\infty \mu (E_{j})

順序対(X,E,μ)(X,\mathcal{E}, \mu)測度空間という。


二つの集合 E1E_{1}E2E_2E1E2=E_{1} \cap E_2=\varnothingを満たすならば、E1E_{1}E2E_2互いに素の集合と言う。

説明

μ\muの条件をμ : E[0,]\mu\ :\ \mathcal{E} \rightarrow [0,\infty]に変えると**(b)**を含むので、省略できる。

条件**(c)**は、簡単に言えば可算加法性だ。注意すべき点は、互いに素な集合に対してのみ成立するということだ。

符号付き測度と測度を一緒に言及する場合、強調のために測度を正の測度とも呼ぶ。

性質

(X,E,μ)(X,\mathcal{E},\mu)を測度空間としよう。

  • (A) 単調性: E,FEE,F\in \mathcal{E}かつEFE\subset Fならば、μ(E)μ(F)\mu (E) \le \mu (F)である。

  • (B) 可算準加法性: {Ej}1\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\inftyE\mathcal{E}の元の数列ならば、μ(1Ej)1μ(Ej)\mu \left( \bigcup_{1}^\infty E_{j} \right) \le \sum _{1}^\infty \mu (E_{j})である。

  • (C) 下からの連続性: {Ej}1E\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}単調増加数列であるとする。つまりE1E2E_{1} \subset E_2 \subset \cdots。すると、次が成り立つ。 μ(1Ej)=limjμ(Ej) \mu\left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j})

  • (D) 上からの連続性: {Ej}1E\left\{ E_{j} \right\}_{1}^\infty \subset \mathcal{E}単調減少数列であるとする。つまりE1E2E_{1} \supset E_2 \supset \cdots。そしてμ(E1)<\mu (E_{1})<\inftyとする。すると、次が成り立つ。 μ(1Ej)=limjμ(Ej) \mu\left(\bigcap \nolimits _{1}^\infty E_{j} \right)= \lim \limits_{j\rightarrow \infty} \mu (E_{j})

証明

(A)

EFE \subset Fとする。するとF=FE+EF=F\setminus E+ Eが成り立つ。EEFEF\setminus Eは互いに素なので、測度の定義**(c)**により、次が成り立つ。

μ(F)=μ(FE+E)=μ(FE)+μ(E) \mu (F) = \mu (F\setminus E+ E) = \mu (F\setminus E) + \mu (E)

すると、測度の定義**(b)**によって、次が成り立つ。

μ(FE)+μ(E)μ(E) \mu (F\setminus E) + \mu (E) \ge \mu (E)

だから、次が得られる。

μ(F)μ(E) \mu (F) \ge \mu (E)

(B)

5.PNG

F1=E1F_{1}=E_{1}としよう。そして、k>1k>1に対してFk=Ek(1k1Ej)F_{k}=E_{k} \setminus \left( \bigcup_{1}^{k-1} E_{j} \right)としよう。すると、各々のFkF_{k}は互いに素で、1nFj=1nEj, n\bigcup_{1}^n F_{j}=\bigcup_{1}^n E_{j},\ \forall nである。また、各々のjjに対してFjEjF_{j} \subset E_{j}である。だから、次が成り立つ。

μ(1Ej)=μ(1Fj)=1μ(Fj)1μ(Ej) \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right)=\mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right)=\sum \limits_{1}^\infty \mu (F_{j}) \le \sum \limits_{1}^\infty\mu (E_{j})

二番目の等号は測度の定義**(c)によって成り立つ。最後の不等式は(A)**によって成り立つ。

(C)

6.PNG

E0:=E_{0}:= \varnothingとしよう。そして、Fj=EjEj1F_{j}=E_{j}\setminus E_{j-1}としよう。すると、各々のFjF_{j}は互いに素である。また、1Fj=1Ej\bigcup _{1}^\infty F_{j} =\bigcup_{1}^\infty E_{j}が成り立つ。だから、次が成り立つ。

μ(1Ej)=μ(1Fj)=1μ(Fj)=1μ(EjEj1)=limn1nμ(EjEj1)=limnμ(En)=limjμ(Ej) \begin{align*} \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) &= \mu \left( \bigcup \nolimits_{1}^\infty F_{j}\right) \\ &= \sum_{1}^\infty \mu (F_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^\infty \mu (E_{j} \setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{1} ^n \mu (E_{j}\setminus E_{j-1} ) \\ &= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mu (E_{n}) \\ &= \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu (E_{j}) \end{align*}

二番目の等号は測度の定義**(c)**によって成り立つ。

(D)

7.PNG

Fj=E1EjF_{j}=E_{1} \setminus E_{j}としよう。すると、F1F2F_{1} \subset F_2 \subset \cdotsが成り立つ。また、μ(E1)=μ(Fj)+μ(Ej)\mu (E_{1})=\mu (F_{j})+\mu (E_{j})で、1Fj=E1(1Ej)\bigcup_{1}^\infty F_{j}=E_{1} \setminus \left( \bigcap_{1}^\infty E_{j} \right)が成り立つ。E1=1Fj+1EjE_{1}= \bigcup_{1}^\infty F_{j}+\bigcap_{1}^\infty E_{j}なので、次が成り立つ。

μ(E1)=μ(1Ej)+μ(1Fj)=μ(1Ej)+limjμ(Fj)=μ(1Ej)+limj[μ(E1)μ(Ej)]=μ(E1)+μ(1Ej)limjμ(Ej) \begin{align*} \mu (E_{1}) &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \mu \left( \bigcup \nolimits _{1}^\infty F_{j} \right) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty} \mu ( F_{j} ) \\ &= \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) + \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\big[ \mu ( E_{1} )-\mu (E_{j}) \big] \\ &= \mu ( E_{1} )+ \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) -\lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j}) \end{align*}

二番目の等号は**(C)**によって成り立つ。μ(E1)<\mu (E_{1}) < \inftyなので、次が得られる。

μ(1Ej)=limjμ(Ej) \mu \left( \bigcap \nolimits_{1}^\infty E_{j}\right) = \lim \limits_{j \rightarrow \infty}\mu (E_{j})

参照