📂確率論

測度論で定義される特性関数と積率生成関数

定義 ¹

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとしよう。確率変数 $X$ と $t \in \mathbb{R}$ に対して以下のように定義された $\varphi_{X} (t)$ を $X$ の特性関数という。 $$ \varphi_{X} (t) := E \left( e^{i t X} \right) = \int_{\mathbb{R}} e^{it x} f_{X} (x) dx $$

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• 測度論にまだ触れていないなら、確率空間という言葉は無視してもいい。

説明

確率変数 $Z : = X + i Y$ は二つの確率変数 $X, Y : \Omega \to \mathbb{R}$ に対して以下のような性質を持つように定義される。 $$ \int Z dP = \int X dP + i \int Y dP $$ すると、特性関数はその期待値の表現と オイラーの公式 に従い、 $$ \begin{align*} \varphi_{X} (t) =& E \left( e^{i t X} \right) \\ =& \int \left[ \cos(tX) + i \sin (t X) \right] dP \\ =& \int e^{it X} dP \\ =& \int \cos ( tX ) dP + i \int \sin ( t X ) dP \end{align*} $$ であり、$e^{itX}$ が複素数へ上手く拡張されたことが確認できる。

特性関数はその定義から積率生成関数 $M(t) = E \left( e^{tX} \right)$ を彷彿とさせるが、実際に確率論ではそれと似た用途でよく使われる。複素数が導入される点はそんなに怖がる必要はない。特性関数からmgfを導くことは簡単だ。$T \in \mathbb{R}$ に対して $t = -i T$ とすると、 $$ \begin{align*} \varphi_{X} (t) =& E \left( e^{i t X} \right) \\ =& E \left( e^{i (- i T) X} \right) \\ =& E \left( e^{T X} \right) \\ =& M(T) \end{align*} $$ のように $T$ のための積率生成関数となる。特性関数はmgfとほぼ同じものと見ても差し支えない。

一方、数学全般で特性^{characteristic}という表現が非常に多く使われるが、確率論を勉強する立場から見れば、「我々の特性関数が本物だ」という自負を持ってもいいと思う。少なくともグーグルで検索した時、最も上位に表示されるのは確率論の特性関数だ。他の分野では「特性」は比較的難しい問題がある時にそれを $n$次の方程式に変えて、「特徴」だけを残して研究しようとするときに使われる表現だが、当然その方程式自体には関心を持たない。もちろん$\varphi_{X}$も普通は$X$の分布を研究するために使われるが、他の分野に比べてはるかに頻繁に、重要視して扱われることは事実だ。