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局所有限カバー

局所有限カバー

定義1

日本語

集合SRnS \subset \mathbb{R}^nオープンカバーO\mathcal{O}があるとする。Rn\mathbb{R}^nの任意のコンパクト集合がオープンカバーO\mathcal{O}の要素とせいぜい有限にしか交差しない場合、オープンカバーO\mathcal{O}局所的に有限locally finiteという。

説明

無限カバーでも、局所的には有限になることがある。定義によれば、局所的に有限なカバーはせいぜい可算集合であり、有限集合は当然局所的に有限である。さらに、SS閉じている場合、一様有界なSSのどんなオープンカバーも局所的に有限な部分カバーを持つ。


  1. ロバート・A・アダムスとジョン・J・F・フートニエ, ソボレフ空間(第2版、2003年)、p82 ↩︎