📂整数論

ガウス環のノルム

定理 ¹

ガウシアン環 $\mathbb{Z}[i]$について、$N : \mathbb{Z}[i] \to \mathbb{Z}$という関数を考えよう。

• [1]: $N(x + iy) := x^2 + y^2$と定義された場合、$N$は$\mathbb{Z}[i]$の乗法的ノルムになる。

説明

ガウス整数は、[抽象代数](../../categories/abstract algebra)の助けを借りれば、はるかに快適に研究できる。整域で定義されるノルム$N$で**2**を証明すると、EDがUFDであるため、ガウス素数に拡張された算術の基本定理を証明することとほぼ等しい。これは、代数的に算術の基本定理を$\mathbb{Z}$がUFDであると説明するのと似ている。

証明

[1]

乗法的ノルムの定義：

• (i): $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$
• (ii): $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

$N$が乗法的ノルムになり、$\mathbb{Z}[i]$が実際にIDになることを示す必要がある。ノルムを定義するための定理は必要ないので、最初にIDであることを示す必要はない。$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$を$\alpha := a + ib$、$\beta := c + id$としてみよう。

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パート (i). $N (\alpha) = 0 \iff \alpha = 0$

$$N(\alpha) = a^2 + b^2 = 0 \iff a = b = 0 \iff \alpha = a + ib = 0$$

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パート (ii). $N ( \alpha \beta ) = N ( \alpha ) N ( \beta )$

ガウス整数同士の積は$( a + ib )( c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)$のように計算されるので、 $$\begin{align*} N ( \alpha \beta ) =& N(ac - bd + i (ad + bc)) \\ =& a^2 c^2 + a^2 d^2 + b^2 c^2 + b^2 d^2 \\ =& (a^2 + c^2) (b^2 + d^2) \\ =& N ( \alpha ) N ( \beta ) \end{align*}$$

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パート 3.$Z[i]$ は ID である

$\alpha$と$\beta$が$0 \in \mathbb{Z}[i]$ではないが$\alpha \beta = 0$だと仮定する。するとパート (i)、(ii) により、 $$N(\alpha) N(\beta) = N(\alpha \beta ) = N(0) = 0$$ $N(\alpha)$と$N(\beta)$は整域$\mathbb{Z}$の要素なので、$N(\alpha) N(\beta) = 0$を満たすためには、$N(\alpha)$または$N(\beta)$のいずれかが$0$でなければならないが、これは仮定に矛盾するので、$Z[i]$も整域である。

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2

ユークリッドノルムの定義:

• (i): すべての$a,b \in D (b \ne 0 )$に対して、$a = bq + r$を満たす$q$と$r$が存在する。このとき、$r = 0$または$\nu (r) < \nu (b)$のいずれかでなければならない。
• (ii): すべての$a,b \in D (b \ne 0 )$に対して、$\nu ( a ) \le \nu ( ab )$

$\nu := N$とし、$N$が$\mathbb{Z}[i]$のユークリッドノルムになることを示せばよい。$\beta \ne 0$とする。

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パート (i). $\exists \sigma, \rho : \alpha = \beta \sigma + \rho$

ある$r, s \in \mathbb{Q}$に対して$\displaystyle {{ \alpha } \over { \beta }} = r + is$とする。この$r, s$にできるだけ近い整数$q_{1} , q_{2} \in \mathbb{Z}$に対して、$\sigma$と$\rho$を次のように設定しよう。 $$\sigma := q_{1} + i q_{2} \\ \rho := \alpha - \beta \sigma$$

• ケース1. $\rho = 0$ $\alpha = \beta \sigma$であるため、これ以上示す必要はない。$\displaystyle \sigma = {{ \alpha } \over { \beta }} = q_{1} + i q_{2}$と$\rho = 0$を見つけた。
• ケース2. $N ( \rho ) < N ( \beta )$ $q_{1}$と$q_{2}$の定義によると、 $$| r - q_{1} | \le {{1} \over {2}} \\ | s - q_{2} | \le {{1} \over {2}}$$ これにより、 $$\begin{align*} N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) =& N \left[ (r + is) - (q_{1} + i q_{2}) \right] \\ =& N \left[ (r - q_{1} ) + i ( s - q_{2}) \right] \\ \le & \left( {{1} \over {2}} \right)^2 + \left( {{1} \over {2}} \right)^2 \\ =& {{1} \over {2}} \end{align*}$$ したがって、 $$\begin{align*} N ( \rho ) =& N(\alpha - \beta \sigma ) \\ =& N \left( \beta \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \right) \\ =& N (\beta) N \left( {{ \alpha } \over { \beta }} - \sigma \right) \\ \le & N(\beta) {{1} \over {2}} \\ \le & N (\beta) \end{align*}$$ 故に、$\rho = 0$か$N(\rho) \le N (\beta)$を満たすような$\rho$、$\sigma$が存在することが保証できる。

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パート (ii). $N ( \alpha ) \ge N ( \alpha ) N ( \beta )$

$\beta \ne 0 \implies N ( \beta ) \ge 1$であるため、 $$\begin{align*} N ( \alpha ) \le & N ( \alpha) \cdot 1 \\ \le & N(\alpha) N(\beta) \\ =& N ( \alpha \beta ) \end{align*}$$

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3

乗法的ノルムの性質により、$u \in \mathbb{Z}[i]$が単位元であれば、$| N ( u ) | = 1$であるため、対偶法により、$| N(u) | = 1$が真でなければ、$u$は単位元でない。$u := x + iy$に対して$N(u) = x^2 + y^2 = 1$を満たすのは、$u \in \left\{ 1, -1, i, -i \right\}$の場合のみである。

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