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ガウス整数 📂整数論

ガウス整数

定義 1

Z[i]:={a+ib:a,bZ}\mathbb{Z} [i] := \left\{ a + i b : a, b \in \mathbb{Z} \right\}ガウス環と言い、その要素をガウス整数という。

定理

  • [1]: i=i3\overline{i} = i^{3}
  • [2]: (a±ib)+(c±id)=(a±c)+i(b±d)( a \pm ib ) + ( c \pm id) = (a \pm c) + i (b \pm d)
  • [3]: (a+ib)(c+id)=(acbd)+i(ad+bc)( a + ib )( c + id) = (ac - bd) + i (ad + bc)

説明

iiは二次方程式x2+1=0x^2 +1 = 0の複素根であり、Z[i]\mathbb{Z} [i]は整数環Z\mathbb{Z}拡張である。実数体R\mathbb{R}が複素数体C=R[i]\mathbb{C} = \mathbb{R} [i]に拡張されるのに似ていて、その理由も大差ない。整数を議論する上で無理数でさえもタブーではないのだから、複素数を考えない理由はない。むしろ、無理数よりも簡単だ。

整数に素数があるように、ガウス整数にもガウス素数がある。 Z[i]\mathbb{Z} [i]上では次のように通常の数式展開が可能である: (7+i2)(4i2)=(28+4)+i(14+8)=32i6 \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + i (- 14 +8 ) \\ =& 32 - i 6 \end{align*} また、ある自然数nNn \in \mathbb{N}が与えられたとき、有限環Zn\mathbb{Z}_{n}に対してもZn[i]\mathbb{Z}_{n}[i]を考えることができる。例えば、n=7n = 7とすると、上記の展開は次のように変わる: (7+i2)(4i2)=(28+4)+i(14+8)=32i64i6(mod7)4+i(mod7) \begin{align*} (7 + i2)(4 -i 2) =& (28 + 4) + i (- 14 + 8 ) \\ =& 32 - i 6 \\ & \equiv 4 - i 6 \pmod{7} \\ & \equiv 4 + i \pmod{7} \end{align*} 自然に合同式を使用したことに注目。Z\mathbb{Z}Z[i]\mathbb{Z} [i]に一般化したいという欲求は、数学者にとって言葉で説明するのも難しいほど自然なものだ。解析学がiiを許容したことによる革新と比べられるかはわからないが、整数論もまた豊かで美しくなったことは確かだ。ただちに代数学の基本定理を考えても、Z[i]\mathbb{Z} [i]에서はdd次の合同方程式がdd個の解を持つといった汚い話はない。複素数が導入されたことにより、ただきれいに正確にdd個の解を持つと言えるようになったのだ。

ここから一歩進んだ整数体系としては、アイゼンシュタイン整数がある。

ガウス環の零因子グラフオスバによって研究された。

証明

[1]

iiの定義と共役の性質により i=i=i3 \overline{i} = -i = i^{3}

[2]

Z[i]\mathbb{Z} [i]は環であり、加算に対し結合法則と交換法則が成り立つので (a±ib)+(c±id)=a±ib+c±id=a±c+ib±id=(a±c)+i(b±d) \begin{align*} ( a \pm ib ) + ( c \pm id) =& a \pm ib + c \pm id \\ =& a \pm c + ib \pm id \\ =& (a \pm c) + i (b \pm d) \end{align*}

[3]

[2]に基づき (a+ib)(c+id)=ac+ibc+iad+(1)bd=(acbd)+i(ad+bc) \begin{align*} ( a + ib )( c + id) =& ac + ibc + iad + (- 1)bd \\ =& (ac - bd) + i (ad + bc) \end{align*}


  1. Silverman. (2012). 数論へのフレンドリーな導入 (第4版): p267。 ↩︎