ガウス整数
📂整数論ガウス整数
定義
Z[i]:={a+ib:a,b∈Z}をガウス環と言い、その要素をガウス整数という。
定理
- [1]: i=i3
- [2]: (a±ib)+(c±id)=(a±c)+i(b±d)
- [3]: (a+ib)(c+id)=(ac−bd)+i(ad+bc)
説明
iは二次方程式x2+1=0の複素根であり、Z[i]は整数環Zの拡張である。実数体Rが複素数体C=R[i]に拡張されるのに似ていて、その理由も大差ない。整数を議論する上で無理数でさえもタブーではないのだから、複素数を考えない理由はない。むしろ、無理数よりも簡単だ。
整数に素数があるように、ガウス整数にもガウス素数がある。
Z[i]上では次のように通常の数式展開が可能である:
(7+i2)(4−i2)==(28+4)+i(−14+8)32−i6
また、ある自然数n∈Nが与えられたとき、有限環Znに対してもZn[i]を考えることができる。例えば、n=7とすると、上記の展開は次のように変わる:
(7+i2)(4−i2)==(28+4)+i(−14+8)32−i6≡4−i6(mod7)≡4+i(mod7)
自然に合同式を使用したことに注目。ZをZ[i]に一般化したいという欲求は、数学者にとって言葉で説明するのも難しいほど自然なものだ。解析学がiを許容したことによる革新と比べられるかはわからないが、整数論もまた豊かで美しくなったことは確かだ。ただちに代数学の基本定理を考えても、Z[i]에서はd次の合同方程式がd個の解を持つといった汚い話はない。複素数が導入されたことにより、ただきれいに正確にd個の解を持つと言えるようになったのだ。
ここから一歩進んだ整数体系としては、アイゼンシュタイン整数がある。
ガウス環の零因子グラフはオスバによって研究された。
証明
[1]
iの定義と共役の性質により
i=−i=i3
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[2]
Z[i]は環であり、加算に対し結合法則と交換法則が成り立つので
(a±ib)+(c±id)===a±ib+c±ida±c+ib±id(a±c)+i(b±d)
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[3]
[2]に基づき
(a+ib)(c+id)==ac+ibc+iad+(−1)bd(ac−bd)+i(ad+bc)
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