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電位と電磁場 📂電磁気学

電位と電磁場

概要1

時間によって電荷、電流の分布が変わるときの電界と磁界は以下の通りである。

E=−∇V−∂A∂t \mathbf{E}= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}

B=∇×A \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

VVはスカラーポテンシャル、A\mathbf{A}はベクトルポテンシャルである。

説明

電荷密度 ρ(r,t)\rho (\mathbf{r}, t)と電流密度 J(r,t)\mathbf{J}(\mathbf{r},t)が一定であれば1、クーロンの法則とビオ・サバールの法則を通じて電界E(r,t)\mathbf{E}(\mathbf{r},t)と磁界B(r,t)\mathbf{B}(\mathbf{r},t)を求めることができる。電荷と電流が時間によって変化する場合、これを求めることはもう少し難しい。

静電気学では、∇× E=0\nabla\times \ \mathbf{E}=0であり、勾配の回転は00であるため、E=−∇V\mathbf{E}=-\nabla Vで示すことができた。しかし、電磁気学では、∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}であるため、静電気学と同様にスカラーポテンシャルの勾配で示すことはできない。しかし、磁界の発散は依然として00であり、回転の発散も00であるため、静磁気学と同様にベクトルポテンシャルの回転で磁界を示すことができる。

B=∇×A \begin{equation} \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} \end{equation}

これをファラデーの法則に代入すると、

∇×E=−∂B∂t  ⟹  ∇×E=−∂∂t(∇×A)  ⟹  ∇×E=−(∇×∂A∂t)  ⟹  ∇×(E+∂A∂t)=0 \begin{align*} && \nabla \times \mathbf{E} &= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{A}) \\ \implies && \nabla \times \mathbf{E} &= -(\nabla \times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}) \\ \implies && \nabla \times \left( \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) &= 0 \end{align*}

従って、E+∂A∂t\mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}の回転が00であるため、スカラーポテンシャルの勾配で示すことができる。

E+∂A∂t=−∇V  ⟹  E=−∇V−∂A∂t \begin{align} && \mathbf{E} +\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} &= -\nabla V \nonumber \\ \implies && \mathbf{E} &= -\nabla V-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \end{align}

マクスウェルの方程式

∇⋅E=0∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×B=μ0ϵ0∂E∂t \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \tag{a} \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \tag{b} \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{c} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{d} \end{align}

A\mathbf{A}が定数であれば、B=∇×A=0\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}=0であり、静電気学の結果と同じである。(2)(2)をガウスの法則(a)(a)に代入すると、

∇⋅(∇V)+∇⋅(∂A∂t)=−1ϵ0ρ  ⟹  ∇2V+∂∂t(∇⋅A)=−1ϵ0ρ \begin{align} && \nabla \cdot ( \nabla V) +\nabla \cdot \left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \right) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \nonumber \\ \implies && \nabla ^2 V +\dfrac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{A}) &= -\frac{1}{\epsilon_{0}}\rho \end{align}

また、(1)(1)、(3)(3)をアンペールの法則(d)(d)に代入すると、

∇×(∇×A)=μ0J−μ0ϵ0∇(∂V∂t)−μ0ϵ0∂2A∂t2 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2}

この場合、カールのカール∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A}であるので、上の式は以下のようになる。

∇(∇⋅A)−∇2A=μ0J−μ0ϵ0∇(∂V∂t)−μ0ϵ0∂2A∂t2  ⟹  (∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2)−∇(∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t)=−μ0J \begin{align} && \nabla ( \nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J}-\mu_{0}\epsilon_{0} \nabla\left( \dfrac{\partial V}{\partial t}\right)-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \nonumber \\ \implies && \left( \nabla ^2 \mathbf{A}-\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial ^2 \mathbf{A} }{\partial t^2} \right) -\nabla\left( \nabla \cdot \mathbf{A} +\mu_{0}\epsilon_{0} \dfrac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_{0} \mathbf{J} \end{align}

つまり、4つのマクスウェルの方程式に関する情報が(3)(3)、(4)(4)に全て含まれている。

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition1 2014), p471-472 ↩︎ ↩︎