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有限井戸ポテンシャルに対する有限正方形井戸ポテンシャルのシュレディンガー方程式の解 📂量子力学

有限井戸ポテンシャルに対する有限正方形井戸ポテンシャルのシュレディンガー方程式の解

概要

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ポテンシャルが上の図のように有限な矩形井戸形の場合、粒子がどのように運動するかを見てみよう。ポテンシャル UU

U(x)={0x<aU0a<x<a0a<x U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_{0} & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases}

ポテンシャルがU(x)U(x)の場合の時間に無関係なシュレディンガー方程式は

d2u(x)dx2+2m2[EU(x)]u(x)=0 \dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0

解釈

E<U0E<-U_{0}

エネルギーがポテンシャルより小さいと解が存在しないため、考慮する必要はない。

U0<E<0-U_{0} < E < 0

  • Part 2-1. x<ax<-a

    この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は d2udx2+2m2Eu=0 \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 2m2E\frac{2m}{\hbar^2}Eが負なので、κ2-\kappa ^2に置換すると d2udx2κ2u=0 \dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2u=0 これは非常に簡単な2次の常微分方程式だ。微分方程式を解くと、その解は u1(x)=A+eκx+Aeκx u_{1}(x)=A_{+}e^{\kappa x} + A_{-}e^{-\kappa x} このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、A=0A_{-}=0

  • Part 2-2. a<x<a-a<x<a

    この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は d2udx2+2m2(E+U0)u=0 \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})u=0 E+U0>0E+U_{0}>0なので、2m2(E+U0)=k2\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})=k ^2に置換すると d2udx2+k2u=0 \dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2 u=0 方程式を解くと u2(x)=B+eikx+Beikx u_{2}(x) = B_{+}e^{i k x}+B_{-}e^{-ik x}

  • Part 2-3. a<xa<x

    この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は d2udx2+2m2Eu=0 \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 **Part 2-1.**の形と同じなので、解は u3(x)=C+eκx+Ceκx u_{3}(x)=C_{+}e^{\kappa x} + C_{-}e^{-\kappa x} このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、C+=0C_{+}=0

    Part 2-4. 境界条件

    波動関数が滑らかであると仮定すると、x=ax=-ax=ax=aで連続しており、波動関数の微分(傾き)もx=ax=-ax=ax=aで連続している。したがって、 {u1(a)=u2(a)u2(a)=u3(a)    {A+eκa+Aeκa=B+eika+Beika(1)B+eika+Beika=C+eκa+Ceκa (2) \begin{cases}u_{1}(-a)=u_{2}(-a) \\ u_{2}(a)=u_{3}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} A_{+}e^{-\kappa a}+A_{-}e^{\kappa a} = B_{+}e^{-ik a}+B_{-}e^{ ik a} \quad \cdots (1) \\ B_{+}e^{ik a}+B_{-}e^{-ik a} = C_{+}e^{\kappa a}+C_{-} e^{-\kappa a} \ \quad \cdots (2) \end{cases}

    {u1(a)=u2(a)u2(a)=u3(a)    {κA+eκaκAeκa=ikB+eikaikBeika(3)ikB+eikaikBeika=κC+eκaκCeκa(4) \begin{cases}u_{1}^{\prime}(-a)=u_{2}^{\prime}(-a) \\ u_{2}^{\prime}(a)=u_{3}^{\prime}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} \kappa A_{+}e^{-\kappa a}-\kappa A_{-}e^{\kappa a} = ik B_{+}e^{-ik a}-ik B_{-}e^{ik a} \quad \cdots (3) \\ ik B_{+}e^{ik a}-ik B_{-}e^{-ik a} = \kappa C_{+}e^{\kappa a}-\kappa C_{-} e^{\kappa a} \quad \cdots (4) \end{cases}

    (1)(1)(3)(3)を行列で表すと

    (eκaeikaikeikaikeika)(A+A)=(eκaeκaκeκaκeκa)(B+B)(5) \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{ika} \\ ike^{-ika} & -ike^{ika} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix}\quad \cdots (5)

    (2)(2)(4)(4)を行列で表すと

    (eκaeκaκeκaκeκa)(B+B)=(eikaeikaikeikaikeika)(C+0)(6) \begin{pmatrix} e^{\kappa a} & e^{-\kappa a} \\ \kappa e^{\kappa a} & -\kappa e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (6)