有限井戸ポテンシャルに対する有限正方形井戸ポテンシャルのシュレディンガー方程式の解
概要
ポテンシャルが上の図のように有限な矩形井戸形の場合、粒子がどのように運動するかを見てみよう。ポテンシャル $U$は
$$ U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_{0} & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases} $$
ポテンシャルが$U(x)$の場合の時間に無関係なシュレディンガー方程式は
$$ \dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0 $$
解釈
$E<-U_{0}$
エネルギーがポテンシャルより小さいと解が存在しないため、考慮する必要はない。
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$-U_{0} < E < 0$
Part 2-1. $x<-a$
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 $$ $\frac{2m}{\hbar^2}E$が負なので、$-\kappa ^2$に置換すると $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2u=0 $$ これは非常に簡単な2次の常微分方程式だ。微分方程式を解くと、その解は $$ u_{1}(x)=A_{+}e^{\kappa x} + A_{-}e^{-\kappa x} $$ このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、$A_{-}=0$。
Part 2-2. $-a<x<a$
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})u=0 $$ $E+U_{0}>0$なので、$\frac{2m}{\hbar^2}(E+U_{0})=k ^2$に置換すると $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2 u=0 $$ 方程式を解くと $$ u_{2}(x) = B_{+}e^{i k x}+B_{-}e^{-ik x} $$
Part 2-3. $a<x$
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は $$ \dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0 $$ **Part 2-1.**の形と同じなので、解は $$ u_{3}(x)=C_{+}e^{\kappa x} + C_{-}e^{-\kappa x} $$ このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、$C_{+}=0$。
Part 2-4. 境界条件
波動関数が滑らかであると仮定すると、$x=-a$と$x=a$で連続しており、波動関数の微分(傾き)も$x=-a$と$x=a$で連続している。したがって、 $$ \begin{cases}u_{1}(-a)=u_{2}(-a) \\ u_{2}(a)=u_{3}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} A_{+}e^{-\kappa a}+A_{-}e^{\kappa a} = B_{+}e^{-ik a}+B_{-}e^{ ik a} \quad \cdots (1) \\ B_{+}e^{ik a}+B_{-}e^{-ik a} = C_{+}e^{\kappa a}+C_{-} e^{-\kappa a} \ \quad \cdots (2) \end{cases} $$
$$ \begin{cases}u_{1}^{\prime}(-a)=u_{2}^{\prime}(-a) \\ u_{2}^{\prime}(a)=u_{3}^{\prime}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} \kappa A_{+}e^{-\kappa a}-\kappa A_{-}e^{\kappa a} = ik B_{+}e^{-ik a}-ik B_{-}e^{ik a} \quad \cdots (3) \\ ik B_{+}e^{ik a}-ik B_{-}e^{-ik a} = \kappa C_{+}e^{\kappa a}-\kappa C_{-} e^{\kappa a} \quad \cdots (4) \end{cases} $$
$(1)$と$(3)$を行列で表すと
$$ \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{ika} \\ ike^{-ika} & -ike^{ika} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix}\quad \cdots (5) $$
$(2)$と$(4)$を行列で表すと
$$ \begin{pmatrix} e^{\kappa a} & e^{-\kappa a} \\ \kappa e^{\kappa a} & -\kappa e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (6) $$