有限井戸ポテンシャルに対する有限正方形井戸ポテンシャルのシュレディンガー方程式の解
📂量子力学有限井戸ポテンシャルに対する有限正方形井戸ポテンシャルのシュレディンガー方程式の解
概要
ポテンシャルが上の図のように有限な矩形井戸形の場合、粒子がどのように運動するかを見てみよう。ポテンシャル Uは
U(x)=⎩⎨⎧0U00x<−a−a<x<aa<x
ポテンシャルがU(x)の場合の時間に無関係なシュレディンガー方程式は
dx2d2u(x)+ℏ22m[E−U(x)]u(x)=0
解釈
E<−U0
エネルギーがポテンシャルより小さいと解が存在しないため、考慮する必要はない。
■
−U0<E<0
Part 2-1. x<−a
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は
dx2d2u+ℏ22mEu=0
ℏ22mEが負なので、−κ2に置換すると
dx2d2u−κ2u=0
これは非常に簡単な2次の常微分方程式だ。微分方程式を解くと、その解は
u1(x)=A+eκx+A−e−κx
このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、A−=0。
Part 2-2. −a<x<a
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は
dx2d2u+ℏ22m(E+U0)u=0
E+U0>0なので、ℏ22m(E+U0)=k2に置換すると
dx2d2u+k2u=0
方程式を解くと
u2(x)=B+eikx+B−e−ikx
Part 2-3. a<x
この領域では時間に無関係なシュレディンガー方程式は
dx2d2u+ℏ22mEu=0
**Part 2-1.**の形と同じなので、解は
u3(x)=C+eκx+C−e−κx
このとき波動関数は平方可積分でなければならないので、C+=0。
Part 2-4. 境界条件
波動関数が滑らかであると仮定すると、x=−aとx=aで連続しており、波動関数の微分(傾き)もx=−aとx=aで連続している。したがって、
{u1(−a)=u2(−a)u2(a)=u3(a)⟹{A+e−κa+A−eκa=B+e−ika+B−eika⋯(1)B+eika+B−e−ika=C+eκa+C−e−κa ⋯(2)
{u1′(−a)=u2′(−a)u2′(a)=u3′(a)⟹{κA+e−κa−κA−eκa=ikB+e−ika−ikB−eika⋯(3)ikB+eika−ikB−e−ika=κC+eκa−κC−eκa⋯(4)
(1)と(3)を行列で表すと
(e−κaike−ikaeika−ikeika)(A+A−)=(e−κaκe−κaeκa−κeκa)(B+B−)⋯(5)
(2)と(4)を行列で表すと
(eκaκeκae−κa−κe−κa)(B+B−)=(eikaikeikae−ika−ike−ika)(C+0)⋯(6)