📂量子力学

ポテンシャルバリアに対するシュレディンガー方程式の解

概要

ポテンシャルが上の図のように壁の形をしているとき、粒子がどのように運動するかを見てみよう。ポテンシャル$U$は

$$U(x) = \begin{cases} 0 & x<-a \\ U_{0} & -a < x <a \\ 0 &a<x \end{cases}$$

ポテンシャルが$U(x)$のときの時間に無関係なシュレーディンガー方程式は

$$\dfrac{d^2 u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar ^2} \Big[ E-U(x) \Big]u(x)=0$$

解法¹

$E<0$

ポテンシャルよりエネルギーが低い場合、解が存在しないので考慮する必要はない。

■

$0 < E < U_{0}$

Part 2-1. $x<-a$ この領域での時間に無関係なシュレーディンガー方程式は、

$$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

$\frac{2m}{\hbar^2}E$が正の数なので、$k^2$に代入すると、

$$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

方程式を解くと、その解は、

$$u_{1}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$

このとき、$A_{+}$、$A_{-}$は定数だ。

• Part 2-2. $-a<x<a$

  この領域での時間に無関係なシュレーディンガー方程式は

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  $E-U_{0}<0$であるから$\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=-\kappa ^2$に代入すると、

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}-\kappa^2 u=0$$

  このとき、$\kappa$はギリシャ語の「カッパ」だ。$k$（ケイ）とは別の文字だ。方程式を解くと、

  $$u_{2}(x) = B_{+}e^{\kappa x}+B_{-}e^{-\kappa x}$$

  このとき、$B_{+}$、$B_{-}$は定数だ。

• Part 2-3. $a<x$

  この領域での時間に無関係なシュレーディンガー方程式は、

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}Eu=0$$

  **Part 2-1.**で$\frac{2m}{\hbar^2}E=k^2$に代入したので、

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+k^2u=0$$

  上の微分方程式を解くと、

  $$u_{3}(x)=C_{+}e^{ikx} + C_{-}e^{-ikx}$$

  このとき、該当領域には反射波がないので$C_{-}=0$だ。

• Part 2-4. 境界条件

  波動関数は滑らかであると仮定するので、$x=-a$、$x=a$で連続しており、波動関数の微分（勾配）も$x=-a$、$x=a$で連続している。したがって、

  $$\begin{cases}u_{1}(-a)=u_{2}(-a) \\ u_{2}(a)=u_{3}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} A_{+}e^{-ika}+A_{-}e^{ika} = B_{+}e^{-\kappa a}+B_{-}e^{\kappa a} \quad \cdots (1) \\ B_{+}e^{\kappa a}+B_{-}e^{-\kappa a} = C_{+}e^{ika}+0 \cdot e^{-ika} \ \quad \cdots (2) \end{cases}$$

  $$\begin{cases}u_{1}^{\prime}(-a)=u_{2}^{\prime}(-a) \\ u_{2}^{\prime}(a)=u_{3}^{\prime}(a) \end{cases} \quad \implies \begin{cases} ikA_{+}e^{-ika}-ikA_{-}e^{ika} = \kappa B_{+}e^{-\kappa a}-\kappa B_{-}e^{\kappa a} \quad \cdots (3) \\ \kappa B_{+}e^{\kappa a}-\kappa B_{-}e^{-\kappa a} = ik C_{+}e^{ika}+0 \cdot ik e^{-ika} \quad \cdots (4) \end{cases}$$

  $(1)$、$(3)$を行列で表すと、

  $$\begin{pmatrix} e^{-ika} & e^{ika} \\ ike^{-ika} & -ike^{ika} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix}\quad \cdots (5)$$

  $(2)$、$(4)$を行列で表すと、

  $$\begin{pmatrix} e^{\kappa a} & e^{-\kappa a} \\ \kappa e^{\kappa a} & -\kappa e^{-\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (6)$$

  ポテンシャル障壁によって反射された波と障壁を通過した波に関心があるので、$A_{+}$、$A_{-}$、$C_{+}$を求める必要がある。

  $\begin{pmatrix} B_{+}\\ B_{-}\end{pmatrix}$を消去して$(5)$、$(6)$を合体しようとしている。$(5)$の一番左の行列を$\mathbb{A}$、$(6)$の一番左の行列を$\mathbb{B}$とする。そうすれば、二つの式は簡単に次のように表現される。

  $$\begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{A}^{-1} \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} \quad \cdots (7)$$

  $$\begin{pmatrix} B_{+} \\ B_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{B}^{-1} \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix}\quad \cdots (8)$$

  いま$(8)$を$(7)$に代入すると、

  $$\begin{pmatrix} A_{+} \\ A_{-} \end{pmatrix} =\mathbb{A}^{-1} \begin{pmatrix} e^{-\kappa a} & e^{\kappa a} \\ \kappa e^{-\kappa a} & -\kappa e^{\kappa a} \end{pmatrix} \mathbb{B}^{-1} \begin{pmatrix} e^{ik a} & e^{-ik a} \\ ik e^{ik a} & -ik e^{-ika } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{+} \\ 0 \end{pmatrix} \quad \cdots (9)$$

  いま、$\mathbb{A}^{-1}$、$\mathbb{B}^{-1}$を求めて行列の積を計算すれば各係数を求めることができる。計算過程は付録Q-1を参考にしてくれ。一生懸命計算すれば、下の結果が得られる。

  $$\dfrac{A_{-}}{A_{+}} = \frac{-i \xi \sinh (2\kappa a)e^{-i2ka} } {\cosh (2\kappa a) + i\eta \sinh (2\kappa a)}$$

  $$\dfrac{C_{+}}{A_{+}}=\frac{e^{-i2ka} }{\cosh (2\kappa a) +i \eta \sinh (2\kappa a)}$$

  このとき、$\frac{\kappa}{k} -\frac{k}{\kappa}=2\eta$、$\frac{\kappa}{k} + \frac{k}{\kappa}=2\xi$だ。

• Part 2-5. 反射率と透過率

  入射波、反射波、透過波はそれぞれ

  $$u_{inc}=A_{+}e^{ikx},\quad u_{ref}=A_{-}e^{-ikx},\quad u_{trans}=C_{+}e^{ikx}$$

  反射率と透過率を計算するために、入射波、反射波、透過波の確率流を求めると、

  $$j_{inc}=\frac{\hbar k}{m}|A_{+}|^2,\quad j_{ref}=\frac{\hbar k}{m}|A_{-}|^2,\quad j_{trnas}=\frac{\hbar k}{m}|C_{+}|^2$$

  したがって反射率、透過率は、

  $$R=\left| \frac{j_{ref}}{j_{inc}}\right|=\left| \frac{A_{-}} {A_{+}} \right|^2= \frac{ \xi^2 \sinh ^2 (2\kappa a) } {\cosh^2 (2\kappa a) + \eta^2 \sinh ^2 (2\kappa a) }$$

  $$T=\left| \frac{ j_{trnas} }{j_{inc}}\right|=\left| \frac{ C_{+} }{A_{+}} \right|^2=\frac{1}{\cosh^2 (2\kappa a) + \eta^2 \sinh^2 (2\kappa a)}$$

$U_{0} < E$

図を見てみると、Part 2-2. 部分を除いたその他の結果は 2. $0 < E < U_{0}$ と同じであることがわかる。したがって、上で得た結果を利用すると、

• Part 3-1. $x<-a$

  $$u_{1}(x)=A_{+}e^{ikx} + A_{-}e^{-ikx}$$

• Part 3-2. $-a< x< a$

  $$\dfrac{d^2 u}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})u=0$$

  この時、$E-U_{0} >0$を$\frac{2m}{\hbar^2}(E-U_{0})=\kappa ^2$に代入すれば、

  $$2 \sqrt{ \frac{2m}{\hbar ^2}(E-u_{0})} a=n\pi$$

  $$\implies \frac{8m}{\hbar ^2} (E-U_{0}) a^2 =n^2\pi^2$$

  $$\implies E=\frac{n^2 \pi^2 \hbar ^2}{8ma^{2}_{}}+U_{0}$$