拡張実数体系

定義

以下のように定義される集合を拡張された実数システムと言います。

$\overline{ \mathbb{R} } := \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty\right\}$

説明

解析学などの分野では、便宜のために実数の集合 $\mathbb{R}$ の代わりに $\overline{ \mathbb{R} }$ を使用することがよくあります。 $\pm \infty$ は数ではありませんが、便宜のために数として扱い、 $\mathbb{R}$ に加えて使用すると便利です。拡張された実数システムの中で大小比較と演算のルールは以下の通りです。

すべての $x \in \mathbb{R}$ に対して、

$-\infty < x <+\infty$

$(\pm \infty) + (\pm \infty) = \pm \infty$

$x + (\pm \infty)=\pm \infty+x=\pm \infty$

$\dfrac{x}{+\infty}=0=\dfrac{x}{-\infty}$

$(\pm \infty)(\pm\infty)=+ \infty$

$(\pm \infty)(\mp \infty)=- \infty$

$x(\pm \infty)=(\pm \infty)x=\begin{cases} \pm \infty & x>0 \\ 0 & x=0 \\ \mp \infty & x<0 \end{cases}$

$(\pm \infty)+(\mp \infty)$ は定義しないことに注意してください。

定理

$\overline{ \mathbb{R} }$ は完全順序集合です。
与えられた $A \subset \overline{ \mathbb{R} }$ に対して、 $\sup A$ と $\inf A$ が存在します。
$a \in \mathbb{R}$ に対して、 $(a, +\infty]$ は $+\infty$ の近傍です。