ソボレフノルムとソボレフ空間ソボレフノルムとソボレフ空間
定義
ソボレフ空間
Ω⊂Rnを開集合としよう。正の整数mと1≤p≤∞に対して、以下のように定義される関数空間をソボレフ空間Sobolev spaceという。
Wm,p(Ω):={u∈Lp(Ω):Dαu∈Lp(Ω)∀0≤∣α∣≤m}
ここで、αはマルチインデックス、Dαuは弱微分、Lpはルベーグ空間である。
ソボレフノルム
正の整数mと1≤p≤∞に対して、関数∥⋅∥m,pを次のように定義しよう。
∥u∥m,p=0≤∣α∣≤m∑∥Dαu∥ppp1,1≤p<∞
∥u∥m,∞=0≤∣α∣≤mmax∥Dαu∥∞,p=∞
これがソボレフ空間のノルムになる。
説明
簡単に言えば、ソボレフ空間とはm回の微分まで全部Lpに属する関数たちの集合である。Lp空間は役立つ性質を持ち、重要な空間ではあるが、微分方程式を解くには少し足りないかもしれない。Lp空間よりも多くの性質を持つ空間を考える必要があり、それがまさにソボレフ空間である。
明らかにm=0ならばW0,p=Lpである。また、C0∞がLpで稠密であるため、1≤p<∞のときW00, p=LPである。さらに、以下のような埋め込みが存在して、Wm,pをLpの部分空間として扱うことができる。
W0m,p(Ω)→Wm,p(Ω)→Lp(Ω)
次の三つの関数空間は、全てソボレフノルム∥⋅∥m,pをノルムとして持っている。正の整数mと1≤p≤∞に対して、
Wm,p(Ω):={u∈Lp(Ω):Dαu∈Lp(Ω)∀0≤∣α∣≤m}
Hm,p(Ω):=the completion of {u∈Cm(Ω):∥u∥m,p<∞}
W0m,p(Ω):=the closure of C0∞(Ω) in Wm,p(Ω)
この時、(1)~(3)をソボレフ空間という。Hm,pとWm,pは実際に同じであると示すことができる。
ソボレフ空間を示す記号には、Hm,p,Wm,p,Pm,p,Lpmなどがある。また、ソボレフ空間という名前が定着する前には、ベッポ・レヴィ空間Beppo Levi spaceとも呼ばれていた。
性質
(a) ソボレフ空間はバナッハ空間である。
(b) 1≤p<∞のとき、ソボレフ空間は分離可能である。
(c) 1≤p<∞のとき、ソボレフ空間は反射的で一様凸である。