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ソボレフノルムとソボレフ空間

ソボレフノルムとソボレフ空間

定義1

ソボレフ空間

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開集合としよう。正の整数mm1p1\le p \le \inftyに対して、以下のように定義される関数空間ソボレフ空間Sobolev spaceという。

Wm,p(Ω):={uLp(Ω):DαuLp(Ω)0αm} W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega)\quad \forall 0\le |\alpha | \le m \right\}

ここで、α\alphaマルチインデックスDαuD^\alpha u弱微分LpL^{p}ルベーグ空間である。

ソボレフノルム

正の整数mm1p1\le p \le \inftyに対して、関数m,p\left\| \cdot \right\|_{m,p}を次のように定義しよう。

um,p=(0αmDαupp)1p,1p< \|u\|_{m,p} =\left( \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u \|^p_{p} \right)^{\frac{1}{p}}, \quad 1\le p<\infty

um,=max0αmDαu,p= \|u\|_{m,\infty}= \max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u\|_\infty, \quad p=\infty

これがソボレフ空間のノルムになる。

説明

簡単に言えば、ソボレフ空間とはmm回の微分まで全部LpL^{p}に属する関数たちの集合である。LpL^{p}空間は役立つ性質を持ち、重要な空間ではあるが、微分方程式を解くには少し足りないかもしれない。LpL^{p}空間よりも多くの性質を持つ空間を考える必要があり、それがまさにソボレフ空間である。

明らかにm=0m=0ならばW0,p=LpW^{0, p}=L^{p}である。また、C0C_{0}^\inftyLpL^{p}稠密であるため、1p<1 \le p < \inftyのときW00, p=LPW_{0}^{0,\ p}=L^Pである。さらに、以下のような埋め込みが存在して、Wm,pW^{m, p}LpL^{p}の部分空間として扱うことができる。

W0m,p(Ω)Wm,p(Ω)Lp(Ω) W_{0}^{m, p}(\Omega) \to W^{m, p}(\Omega) \to L^{p}(\Omega)

次の三つの関数空間は、全てソボレフノルムm,p\left\| \cdot \right\|_{m,p}をノルムとして持っている。正の整数mm1p1\le p \le \inftyに対して、

Wm,p(Ω):={uLp(Ω):DαuLp(Ω)0αm} \begin{equation} W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega)\quad \forall 0\le |\alpha | \le m \right\} \end{equation}

Hm,p(Ω):=the completion of {uCm(Ω):um,p<} \begin{equation} H^{m, p}(\Omega):= \text{the completion of } \left\{ u \in C^m(\Omega) : \|u\|_{m, p} < \infty \right\} \end{equation}

W0m,p(Ω):=the closure of C0(Ω) in Wm,p(Ω) \begin{equation} W_{0}^{m, p}(\Omega):= \text{the closure of } C^\infty_{0}(\Omega) \text{ in } W^{m, p}(\Omega) \end{equation}

この時、(1)(1)~(3)(3)をソボレフ空間という。Hm,pH^{m, p}Wm,pW^{m, p}は実際に同じであると示すことができる。

ソボレフ空間を示す記号には、Hm,p,Wm,p,Pm,p,LpmH^{m, p}, W^{m, p}, P^{m, p}, L_{p}^{m}などがある。また、ソボレフ空間という名前が定着する前には、ベッポ・レヴィ空間Beppo Levi spaceとも呼ばれていた。

性質

(a) ソボレフ空間はバナッハ空間である。

(b) 1p<1\le p <\inftyのとき、ソボレフ空間は分離可能である。

(c) 1p<1\le p < \inftyのとき、ソボレフ空間は反射的一様凸である。


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p59-61 ↩︎