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ウィルソンの定理の証明 📂整数論

ウィルソンの定理の証明

定理 1

2より大きい素数ppについて、(p1)!1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}が成り立つ。

説明

フェルマーの小定理ほどではないけれども、ウィルソンの定理もまた、あちこちで役立つ。見た目からして、連続する数の積を計算するときに便利そうだ。

証明

(modp)\pmod{p}に対して、乗法の逆元の存在性と一意性を用いた証明1と、原始根の性質とフェルマーの小定理を用いた証明2の二つを紹介する。証明2は少し難しいが、より洗練されている。好みの証明を覚えておこう。

1

iiが1より大きく(p1)(p-1)より小さい整数である場合、(p1)!(p-1)!を以下のように表すことができる。 (p1)!=123i(p2)(p1) (p-1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots i \cdots (p-2) \cdot (p-1)

合同式での乗法の逆元: 素数ppについてgcd(p,a)=1\gcd(p,a) = 1の時、方程式ax1(modp)a x \equiv 1 \pmod{p}0<x<p0<x<pでただ1つの解を持つ。

(modp)\pmod{p}の整数は必ず逆元をただ1つ持つので、11(p1)(p-1)を除く全ての整数は何か他の整数と乗算して11になるだろう。ppが偶数ではない素数であるため、このようなiiは正確に偶数個存在し、結局残るのは (p1)!1111(p1)(modp) (p-1)! \equiv 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot (p-1) \pmod{p} である。(p1)1(modp)(p-1) \equiv -1 \pmod{p}であるから、(p1)!1(modp)(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}が成り立つ。

例えば(71)!123456(mod7)(7-1)! \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \pmod{7}を見ると 2481(mod7)35151(mod7) 2 \cdot 4 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7} \\ 3 \cdot 5 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7} となり、従って (71)!111661(mod7) (7-1)! \equiv 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7} となる。もう少し大きな素数を手計算で確かめてみると、よりはっきりわかるだろう。

2

aa素数ppの原始根とすると、(p1)!(p-1)!を以下のように表すことができる。

(p1)!123(p2)(p1)(modp)a1a2a3ap2ap1(modp)ap(p1)2(modp)ap12p(modp) \begin{align*} (p-1)! & \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-2) \cdot (p-1) \pmod{p} \\ & \equiv a^{1} \cdot a^{2} \cdot a^{3} \cdots a^{p-2} \cdot a^{p-1} \pmod{p} \\ & \equiv a^{{p(p-1)} \over {2}} \pmod{p} \\ & \equiv a^{ { {p-1} \over 2 } p } \pmod{p} \end{align*}

フェルマーの小定理: ap11(modp)a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

aappの原始根であるため、フェルマーの小定理によりap12p(1)p(modp)a^{ { {p-1} \over 2 } p } \equiv (-1)^p \pmod{p}が成り立つ。一方でppは2より大きい素数であるため奇数で、従って次を得る。 (p1)!(1)p1(modp) (p-1)! \equiv (-1)^p \equiv -1 \pmod{p}


  1. Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition): p70. ↩︎