ウィルソンの定理の証明
📂整数論ウィルソンの定理の証明
定理
2より大きい素数pについて、(p−1)!≡−1(modp)が成り立つ。
説明
フェルマーの小定理ほどではないけれども、ウィルソンの定理もまた、あちこちで役立つ。見た目からして、連続する数の積を計算するときに便利そうだ。
証明
(modp)に対して、乗法の逆元の存在性と一意性を用いた証明1と、原始根の性質とフェルマーの小定理を用いた証明2の二つを紹介する。証明2は少し難しいが、より洗練されている。好みの証明を覚えておこう。
1
iが1より大きく(p−1)より小さい整数である場合、(p−1)!を以下のように表すことができる。
(p−1)!=1⋅2⋅3⋯i⋯(p−2)⋅(p−1)
合同式での乗法の逆元: 素数pについてgcd(p,a)=1の時、方程式ax≡1(modp)は0<x<pでただ1つの解を持つ。
(modp)の整数は必ず逆元をただ1つ持つので、1と(p−1)を除く全ての整数は何か他の整数と乗算して1になるだろう。pが偶数ではない素数であるため、このようなiは正確に偶数個存在し、結局残るのは
(p−1)!≡1⋅1⋅1⋯1⋅(p−1)(modp)
である。(p−1)≡−1(modp)であるから、(p−1)!≡−1(modp)が成り立つ。
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例えば(7−1)!≡1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6(mod7)を見ると
2⋅4≡8≡1(mod7)3⋅5≡15≡1(mod7)
となり、従って
(7−1)!≡1⋅1⋅1⋅6≡6≡−1(mod7)
となる。もう少し大きな素数を手計算で確かめてみると、よりはっきりわかるだろう。
2
aを素数pの原始根とすると、(p−1)!を以下のように表すことができる。
(p−1)!≡1⋅2⋅3⋯(p−2)⋅(p−1)(modp)≡a1⋅a2⋅a3⋯ap−2⋅ap−1(modp)≡a2p(p−1)(modp)≡a2p−1p(modp)
フェルマーの小定理: ap−1≡1(modp)
aはpの原始根であるため、フェルマーの小定理によりa2p−1p≡(−1)p(modp)が成り立つ。一方でpは2より大きい素数であるため奇数で、従って次を得る。
(p−1)!≡(−1)p≡−1(modp)
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