ラン-テスト
仮説検定
時系列分析で得たARMAモデル $ARMA(p,q)$ を $M$ としよう。
- $H_{0}$: $M$ は適合する。
- $H_{1}$: $M$ は適合しない。
解説
リュング＝ボックステストは、LBQ とも略され、ARIMAモデルの適合性を判断するための検定だ。
1970年、ボックスboxとピアスpierceはARIMAモデルで得られた残差のsACF $\hat{r}_{1} , \cdots , \widehat{r}_{k}$ を通じて次の検定統計量 $Q$ を提案した。 $$ Q = n \left( \hat{r}_{1}^{2} + \cdots + \widehat{r}_{k}^{2} \right) $$ $Q$ は自由度が $k-p-q$ のカイ二乗分布に従うため、適合度検定ができたが、$n$ が十分に大きい場合にのみ使用できた。$n=100$ 程度になっても収束しない例もあり、1978年にリュングljungとボックスboxが次のように改良された検定統計量を提案した。 $$ Q_{*} = n(n+2) \left( {{\hat{r}_{1}^{2}} \over {n-1}} + \cdots + {{\widehat{r}_{k}^{2}} \over {n-k}} \right) \sim \chi^{2} ( k - p - q ) $$