📂ルベーグ空間

ルベーグ空間における内挿不等式

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合とする。どんな$\theta$に対しても、$1 \le p \lt q\lt r \le \infty$が$0 \lt \theta \lt 1$で以下の式を満たすとする。

$$ \dfrac{1}{q} = \frac{\theta}{p} + \frac{1-\theta}{r} $$

$u \in L^p(\Omega) \cap L^r(\Omega)$と仮定する。すると$u\in L^{q}(\Omega)$が成り立ち、以下の不等式が成立する。

$$ \left\| u \right\|_{q} \le \left\| u \right\|_{p}^{\theta} \left\| u \right\|_{r}^{1-\theta} $$

これを補間不等式という。

説明

補間を訳すと、空いている所を埋めるという意味を持つ。

1以上の$p, r$に対して、$u\in L^{p}$であり$u\in L^{r}$なら、$p$と$r$の間の全ての$q$に対して$u\in L^q$が保証される。

証明

まず、与えられた仮定の両辺に$q$を掛けると、

$$ \begin{align*} && 1 =&\ \dfrac{ \theta q}{p}+\dfrac{(1-\theta) q}{r} \\ \implies && 1 =&\ \dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}+\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}} \end{align*} $$

なので、$\dfrac{1}{\frac{p}{\theta q}}$と$\dfrac{1}{\frac{r}{(1-\theta)q}}$はヘルダーの不等式を満たす共役指数である。これから、それぞれ以下のように置く。

$$ s=\dfrac{p}{q\theta} \quad \text{and} \quad s^{\prime}=\dfrac{r}{(1-\theta)q} $$

ヘルダーの不等式

ある$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$が$1 \le p, p^{\prime} < \infty$である場合、もし$u \in L^p(\Omega)$かつ$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$なら、

$$ \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

• ケース 1.$r \lt \infty$

  $|u|^{\theta q} \in L^{s}$であり、$|u|^{q(1-\theta)} \in L^{s^{\prime}}$であることが確認できる。

  $$ \left\| u^{\theta q} \right\|_{s}^{s} = \int_{\Omega} \left( |u(x)|^{q\theta} \right)^{s} dx = \int_{\Omega} |u(x)|^p dx \lt \infty $$

  $$ \left\| u^{q(1-\theta)} \right\|_{s^{\prime}}^{s^{\prime}}=\int_{\Omega} \left( |u(x)|^{q(1-\theta)} \right)^{s^{\prime}} dx=\int_{\Omega} |u(x)|^r dx \lt\infty $$

  だから、ヘルダーの不等式を使える。$\left\| u \right\|_{q}^{q}$を計算してみると

  $$ \begin{align*} \left\| u \right\|_{q}^{q} =&\ \int_{\Omega} |u(x)|^{q} dx \\ =&\ \int_{\Omega} |u(x)|^{\theta q} |u(x)|^{(1-\theta)q} dx \\ \le& \left\| u^{\theta q} \right\|_{s} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{s^{\prime}} \quad \text{by Hoelder’s inequality} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{\theta q s } dx \right)^{1/s} \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{(1-\theta) q s^{\prime} } dx \right)^{1/s^{\prime}} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}q\theta} \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{\frac{1}{r}(1-\theta)q} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q} \left\| u \right\|_{r}^{(1-\theta)q} \end{align*} $$

  両辺の指数に$\dfrac{1}{q}$を掛けると、

  $$ \left\| u \right\|_{q} \le \left\| u \right\|_{p}^{\theta} \left\| u \right\|_{r}^{1-\theta} $$

• ケース 2.$r = \infty$

  仮定の条件が$\dfrac{1}{q} = \dfrac{\theta}{p}$である場合だ。同様に、$s=\frac{p}{\theta q}=1$と置いて、$s^{\prime}=\infty$であり、$1=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime}}$を満たし、$|u|^{\theta q} \in L^s=L^1$かつ$|u|^{(1-\theta)q} \in L^{s^{\prime}}=L^{\infty}$である。

  $$ \left\| u^{\theta q} \right\|_{1}=\int_{\Omega} |u(x)|^{q\theta} dx=\int_{\Omega} |u(x)|^p dx \lt\infty $$

  もし$u\in L^{\infty}$なら、任意の正数$k$に対して$|u|^k \in L^{\infty}$が成り立つことは、$| \cdot|_\infty$の定義から簡単にわかる。$(1-\theta)\gt 0$なので、$|u|^{(1-\theta)q} \in L^{\infty}$だ。だから、ヘルダーの不等式を使えば

  $$ \begin{align*} \left\| u \right\|_{q}^{q} =&\ \int_{\Omega} |u|^q dx \\ =&\ \int_{\Omega} |u|^{\theta q} |u|^{(1-\theta)q}dx \\ \le& \left\| u^{\theta q} \right\|_{1} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u|^{\theta q} dx \right)^{1} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \left( \int_{\Omega} |u|^{p} dx \right)^{\frac{1}{p}q\theta} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q} \left\| u^{(1-\theta)q} \right\|_{\infty} \\ =&\ \| u \|_{p}^{\theta q}\ \left\| u \right\|_{\infty}^{(1-\theta)q} \end{align*} $$

  三行目は、ヘルダーの不等式を使えば成立する。最終行は、$\left\| \cdot \right\| _{\infty}$の性質により成立する。したがって、

  $$ \left\| u \right\|_{q} \le \| u \|_{p}^{\theta } \left\| u \right\|_{\infty}^{(1-\theta)}= \| u \|_{p}^{\theta }\ |u|_{r}^{(1-\theta)} $$

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