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ベッセル方程式の導出 📂数理物理学

ベッセル方程式の導出

定義

以下の微分方程式を**ν\nu次ベッセル方程式**Bessel’s equation of order ν\nuと呼ぶ。

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y= 0x(xy′)′+(x2−ν2)y= 0y′′+1xy′+(1−ν2x2)y= 0 \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y =&\ 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime} + (x^2- \nu ^2) y =&\ 0 \\ y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y =&\ 0 \end{align*}

説明

ベッセル方程式の解をベッセル関数Bessel functionと呼ぶ。

ベッセル関数は、物理学や工学などでよく見られ、特に円筒対称性を持つ問題で使用される。この理由から、ベッセル関数はシリンダー関数cylinder functionとも呼ばれるが、あまり一般的ではない。

導出

2次元極座標での波動方程式は以下のように与えられる。

∂2u∂t2=c2(∂2u∂r2+1r∂u∂r+1r2∂2u∂θ2) \begin{equation} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \dfrac{\partial ^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2} \dfrac{\partial ^2 u}{\partial \theta ^2}\right) \end{equation}

ccは定数である。上記の方程式の解uuが変数分離可能な関数だとしよう。

u(t,r,θ)=T(t)R(r)Θ(θ) u(t, r, \theta)=T(t)R(r)\Theta (\theta)

(1)(1)を代入すると

T′′RΘ=c2(TR′′Θ+1rTR′Θ+1r2TRΘ′′) T^{\prime \prime}R\Theta=c^2\left( TR^{\prime \prime}\Theta + \dfrac{1}{r}TR^{\prime}\Theta + \frac{1}{r^2}TR\Theta^{\prime \prime} \right)

両辺をc2TRΘc^2TR\Thetaで割ると

T′′c2T=R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}

左辺は純粋にttの関数であり、右辺はrr、θ\thetaの関数なので、式の両辺は定数でなければならない。左辺がttに対して定数ではない場合、ttの値が変わると左辺の値が変わり、右辺の値が変わらないため等式が成り立たなくなる。したがって、すべてのtt、rr、θ\thetaにおいて、両辺は定数である。この定数を−μ2-\mu ^2としよう。すると、

T′′c2T=R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ=−μ2 \begin{equation} \dfrac{T^{\prime \prime}}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2 \end{equation}

まず、rr、θ\thetaの式を見てみよう。

R′′R+R′rR+Θ′′r2Θ=−μ2 \dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{r^2\Theta}=-\mu^2

両辺にr2r^2を掛け、rrとθ\thetaの式を分けてみると

r2R′′R+rR′R+r2μ2=−Θ′′Θ \dfrac{r^2R^{\prime \prime}}{R}+\dfrac{rR^{\prime}}{R}+r^2\mu^2=-\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}

先に述べた理由と同じで、この式の両辺もまた定数である。この定数をν2\nu^2としよう。すると、以下のような式を得る。

−Θ′′Θ=ν2  ⟹  Θ′′=−ν2Θ \begin{equation} -\dfrac{\Theta^{\prime \prime}}{\Theta}=\nu^2 \quad \implies \quad \Theta^{\prime \prime} =-\nu^2 \Theta \quad \end{equation}

そして再び(2)(2)に戻り、ttに関する式を整理すると

T′′=−c2μ2T \begin{equation} T^{\prime \prime}=-c^2\mu^2T \end{equation}

(3)(3)と(4)(4)を(2)(2)に代入し、適切に式を整理すると以下のようになる。

−c2μ2Tc2T=R′′R+R′rR+−ν2Θr2Θ  ⟹  1RR′′+1rRR′+(μ2−ν2r2)=0  ⟹  r2R′′(r)+rR′(r)+(μ2r2−ν2)R(r)=0 \begin{align*} &&\dfrac{-c^2 \mu^2 T}{c^2T}=\dfrac{R^{\prime \prime}}{R}+\frac{R^{\prime}}{rR}+\dfrac{-\nu^2\Theta}{r^2\Theta} \\ \implies &&\frac{1}{R}R^{\prime \prime}+\dfrac{1}{rR}R^{\prime}+\left(\mu^2-\frac{\nu^2}{r^2}\right) =0 \\ \implies && r^2R^{\prime \prime}(r)+rR^{\prime}(r)+(\mu^2r^2-\nu^2)R(r)=0 \end{align*}

この時、μr=x\mu r=xと置換しよう。そして次のようにする。

R(r)=f(μr)=f(x),R′(r)=μf′(μr)=μf′(x),R′′(r)=μ2f′′(μr)=μ2f′′(x) R(r)=f(\mu r)=f(x),\quad R^{\prime}(r)=\mu f^{\prime}(\mu r)=\mu f^{\prime}(x),\quad R^{\prime \prime}(r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(\mu r)=\mu^2 f^{\prime \prime}(x)

これらの式を先に得た式に代入すると

x2μ2μ2f′′(x)+xμμf(x)+(x2−ν2)f(x)=0  ⟹  x2f′′(x)+xf(x)+(x2−ν2)f(x)=0 \begin{align*} && \frac{x^2}{\mu^2}\mu^2f^{\prime \prime}(x) + \dfrac{x}{\mu}\mu f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \\ \implies && x^2f^{\prime \prime}(x) + x f(x)+(x^2-\nu^2)f(x)&= 0 \end{align*}

上記の式をν\nu次ベッセル方程式と呼ぶ。通常、以下の形で見ることができる。

x2y′′+xy′+(x2−ν2)y=0x(xy′)′+(x2ν2)y=0 \begin{align*} x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime} +(x^2-\nu^2)y&= 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(x^2 \nu ^2) y&= 0 \end{align*}

この方程式の最初の解は以下の通りで、第1種ベッセル関数と呼ばれる。

Jν(x)=∑n=0∞(−1)nΓ(n+1)Γ(n+ν+1)(x2)2n+ν J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}

2つ目の解は以下の通りで、第2種ベッセル関数と呼ばれる。​​​

Nν(x)=Yν(x)=cos⁡(νπ)Jν(x)−J−ν(x)sin⁡(νπ) N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)}

したがって、ベッセル方程式の一般解は以下の通りである。

y(x)=AJν(x)+BNν(x) y(x)=AJ_{\nu}(x)+BN_{\nu}(x)

この時、AAとBBは定数である。