📂動力学

ヘテロクリニック分岐

定義

ヘテロクリニック分岐^{heteroclinic bifurcation}は 動力学系のパラメータ変化に従ってヘテロクリニック軌道が現れたり消えたりする分岐のことだ。

説明

ヘテロクリニック分岐はその名の通りヘテロクリニック軌道に関連しており、パラメータの変化に従って二つの固定点を結ぶマニフォールドが繋がったり切れたりするイメージで想像すると良い。この時、二つの固定点の近傍だけを見てもヘテロクリニック軌道に含まれていることが分からないので、グローバル分岐でもある。

例 ¹

$$\begin{align*} \dot{x}_{1} =& 1 - x_{1}^{2} - \alpha x_{1} x_{2} \\ \dot{x}_{2} =& x_{1} x_{2} + \alpha \left( 1 - x_{1}^{2} \right) \end{align*}$$ 例として上記のようなシステムが与えられているとしよう。このシステムは二つの固定点 $\mathbf{x}_{1} = (-1,0)$ と $\mathbf{x}_{2} = (1, 0)$ を持つ。

このシステムでは $\alpha \ne 0$ の時、$\mathbf{x}_{1}$ と $\mathbf{x}_{2}$ を結ぶマニフォールドは存在しないが、$\alpha = 0$ の時には正確に $x_{2} = 0$ と $x_{1} \in [-1, 1]$ でヘテロクリニック軌道が存在する。

関連項目

• ホモクリニック軌道とヘテロクリニック軌道
• ホモクリニック分岐