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代数学の基本定理

定理¹

$p, q, r \ge 1$が$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{r} = 2$を満たすとする。するとすべての${u \in L^{p}(\mathbb{R}^{n})}$、${v \in L^{q}(\mathbb{R}^{n})}$、${w \in L^{r}(\mathbb{R}^{n})}$に対して以下の式が成り立つ。

$$\begin{equation} \left| \int_{\mathbb{R}^{n}} (u \ast v)(x)w(x)dx \right| \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{q} \left\| w \right\|_{r} \end{equation}$$

ここで、$u \ast v$は$u$と$v$のコンボリューションである。

説明

これはヤングの定理^{Young’s theorem}と呼ばれる。

不等式$(1)$は右側に定数$K=K(p, q, r, n)<1$がある場合に成り立つ。このとき最も良い(小さい)定数は以下の通りである。

$$K(p, q, r, n)=\left( \dfrac{ p^{1/p} q^{1/q} r^{1/r} }{ (p^{\prime})^{1/p^{\prime}}(q^{\prime})^{1/q^{\prime}}(r^{\prime})^{1/r^{\prime}} } \right)^{n/2}$$

証明

$p, q, r$のヘルダーの共役をそれぞれ$p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$としよう。

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{\prime}} = 1$$

すると以下の式が成り立つ。

$$\dfrac{1}{p^{\prime}} + \dfrac{1}{q^{\prime}} + \dfrac{1}{r^{\prime}} = 3 - \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{q} - \dfrac{1}{r} = 1$$

$$\frac{p}{q^{\prime}}+\dfrac{p}{r^{\prime}}=p\left( \frac{1}{q^{\prime}}+\dfrac{1}{r^{\prime}} \right) =p\left(1-\dfrac{1}{p^{\prime}}\right)=p\left(1-\frac{p-1}{p} \right)=p-p+1=1$$

同様に、

$$\dfrac{r}{p^{\prime}} + \dfrac{r}{q^{\prime}} = 1 \quad \text{and} \quad \dfrac{q}{p^{\prime}} + \dfrac{q}{r^{\prime}} = 1$$

従って３つの関数

$$U(x, y)=|v(y)|^{q/p^{\prime}}|w(x)|^{r/p^{\prime}}$$

$$V(x, y)=|u(x-y)|^{p/q^{\prime}}|w(x)|^{r/q^{\prime}}$$

$$W(x, y)=|u(x-y)|^{p/r^{\prime}}|v(y)|^{q/r^{\prime}}$$

に対して次の式を満たす。

$$(UVW)(x, y)=u(x-y)v(y)w(x)$$

$\left\| V \right\|_{q^{\prime}}$を計算してみよう。

$$\begin{align*} |V |_{q^{\prime}} =&\ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p |w(x)|^r dxdy\right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p dy \right) |w(x)|^rdx \right)^{1/q^{\prime}} \end{align*}$$

２番目の等式はフビニの定理により成り立つ。２行目の内側のカッコを見ると、$x$の値にかかわらず$u$のノルムであることがわかる。$x-y=z$に置き換えると、

$$\int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|^p dy = \int_{\mathbb{R}^n} |u(z)|^pdz = \left\| u \right\|_{p}^p$$

従って、上の式は

$$\begin{align*} \left\| V \right\|_{q^{\prime}} =&\ \left\| u \right\|_{p}^{p/q^{\prime}}\left( \int_{\mathbb{R}^n}|w(x)|^rdx \right)^{1/q^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p}^{p/q^{\prime}} \left\| w \right\|_{r}^{r/q^{\prime}} \end{align*}$$

$\left\| u \right\|_{p}, \left\| w \right\|_{r}$が存在するので$\left\| v \right\|_{q^{\prime}}$も存在し、その値は上のようになる。同様に、

$$\left\| U \right\|_{p^{\prime}}=\left\| v \right\|_{q}^{q/p^{\prime}}\left\| w \right\|_{r}^{r/q^{\prime}}$$

が成立し、

$$\left\| W \right\|_{r^{\prime}} = \left\| u \right\|_{p}^{p/r^{\prime}} \left\| v \right\|_{q}^{q/r^{\prime}}$$

これらの結果を使用して３関数に対するヘルダーの不等式を使用すると、

$$\begin{align*} \left| \int_{\mathbb{R}^n} (u \ast v)(x)w(x)dx \right| \le& \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} |u(x-y)|\ |v(y)|\ |w(x)| dy dx \\ =&\ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n}U(x, y) V(x, y) W(x, y) dy dx \\ \le & \left\| U \right\|_{p^{\prime}} \left\| V \right\|_{q^{\prime}} \left\| W \right\|_{r^{\prime}} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{q} \left\| w \right\|_{r} \end{align*}$$

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注意