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メルリン変換 📂フーリエ解析

メルリン変換

定義

関数 f:[0,∞)→Cf : [0, \infty) \to \mathbb{C}について、下記の積分が存在するなら、これをffのメリン変換Mellin transformと呼び、こういった積分変換をM\mathcal{M}と示す。

Mf(s)=∫0∞xs−1f(x)dx=ϕ(s),s∈C \mathcal{M}f (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}f(x)dx = \phi (s),\quad s \in \mathbb{C}

メリン逆変換inverse Mellin transformは下記の通りだ。

M−1ϕ(x)=12πi∫c−i∞c+i∞x−sϕ(s)ds \mathcal{M}^{-1}\phi (x) = \dfrac{1}{2\pi i }\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} x^{-s}\phi (s) ds

説明

積分変換の一種だ。メリン逆変換は定数ccの値に関係ない。メリン変換はコンピュータ科学、整数論、数理統計学、量子力学、断層撮影などで使われ、ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数などとも関連している。

フーリエ変換との関係

フーリエ変換を適切に変形させると、メリン変換になる。つまりMf=F[f∘exp⁡]\mathcal{M}f = \mathcal{F}[f \circ \exp]だ。

F[f(ex)](ξ)=∫−∞∞f(ex)e−iξxdx=∫0∞f(ex)(ex)−iξ1exd(ex)=∫0∞f(t)t−iξ1tdt=∫0∞f(t)ts1tdt=∫0∞f(t)ts−1dt=M[f(x)](s) \begin{align*} \mathcal{F}[f(e^x)] (\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(e^x)e^{-i\xi x} dx \\ &= \int_{0}^{\infty} f(e^x)(e^x)^{-i\xi}\dfrac{1}{e^x}d(e^x) \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{-i\xi}\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^s\dfrac{1}{t}dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(t)t^{s-1}dt \\ &= \mathcal{M}[f(x)] (s) \end{align*}

二番目の等号はdexdx=ex  ⟹  dx=1exdex\frac{d e^x}{dx}=e^x \implies dx=\frac{1}{e^x}de^xによって成り立つ。四番目の等号はs=−iξs=-i \xiとすれば成り立つ。

ガンマ関数との関係

f(x)=e−xf(x)=e^{-x}とする。そうするとffのメリン変換はガンマ関数と等しい。

Mf(s)=∫0∞xs−1e−xdx=Γ(s) \mathcal{M}f(s) = \int_{0}^{\infty} x^{s-1}e^{-x}dx=\Gamma (s)

コンボリューション

コンボリューションとは、積の積分変換を積分変換の積と同じにする関数だ。メリン変換のコンボリューションは以下の通りだ。

(f×g)(y)=∫0∞f(x)g(yx)dxx (f \times g) (y) = \int _{0}^{\infty} f(x)g \left(\frac{y}{x} \right)\frac{dx}{x}

M(f×g)=(Mf)(Mg) \mathcal{M}(f \times g)=(\mathcal{M}f)(\mathcal{M}g)