ホップ・ラックス・フォーミュラ
📂偏微分方程式 ホップ・ラックス・フォーミュラ ビルドアップ ハミルトニアンH H H がD u Du D u のみに依存するハミルトン-ヤコビ方程式 の初期値問題を見てみよう。
{ u t + H ( D u ) = 0 in R n × ( 0 , ∞ ) u = g on R n × { t = 0 }
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
u_{t} + H(Du)&=0 && \text{in } \mathbb{R}^n \times (0,\infty)
\\ u&=g && \text{on } \mathbb{R}^n \times \left\{ t=0 \right\}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
{ u t + H ( D u ) u = 0 = g in R n × ( 0 , ∞ ) on R n × { t = 0 }
一般に、ハミルトニアンは空間変数に依存してH ( D u , x ) H(Du, x) H ( D u , x ) のような形を取るが、ここではx x x に対して影響を受けないとする。そして、ハミルトニアンH ∈ C ∞ H\in C^\infty H ∈ C ∞ に対して次のような仮定をする。
{ H i s c o n v e x lim ∣ p ∣ → ∞ H ( p ) ∣ p ∣ = ∞
\begin{cases} H \mathrm{\ is\ convex}
\\ \lim \limits_{|p|\to \infty} \dfrac{H(p)}{|p|}=\infty \end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ H is convex ∣ p ∣ → ∞ lim ∣ p ∣ H ( p ) = ∞
そしてL = H ∗ L=H^{\ast} L = H ∗ とすると、ラグランジアンL L L も同様の特性を満たす 。最後に、初期値g : R n → R g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} g : R n → R がリプシッツ連続であるとする。すなわち、
L i p ( g ) : = sup x , y ∈ R n x ≠ y ∣ g ( x ) − g ( y ) ∣ ∣ x − y ∣ < ∞
\mathrm{Lip}(g):=\sup \limits_{x,y\in \mathbb{R}^n
\\ x \ne y} \dfrac{ |g(x)-g(y)| }{|x-y|} < \infty
Lip ( g ) := x , y ∈ R n x = y sup ∣ x − y ∣ ∣ g ( x ) − g ( y ) ∣ < ∞
また、与えられたハミルトン-ヤコビ方程式( 1 ) (1) ( 1 ) の特性方程式 は次のようになる。
p ˙ ( s ) = − D x H ( p ( s ) , x ( s ) ) z ˙ ( s ) = D p H ( p ( s ) , x ( s ) ) ⋅ p ( s ) − H ( p ( s ) , x ( s ) ) x ˙ ( s ) = D p H ( p ( s ) , x ( s ) )
\begin{align*}
\dot{\mathbf{p}}(s) &= -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)
\\ \dot{z}(s) &= D_{p} H\big( \mathbf{p}(s),\ \mathbf{x}(s)\big)\cdot \mathbf{p}(s) -H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)
\\ \dot{\mathbf{x}}(s) &= D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)
\end{align*}
p ˙ ( s ) z ˙ ( s ) x ˙ ( s ) = − D x H ( p ( s ) , x ( s ) ) = D p H ( p ( s ) , x ( s ) ) ⋅ p ( s ) − H ( p ( s ) , x ( s ) ) = D p H ( p ( s ) , x ( s ) )
ここでH H H はx x x に無関係であると仮定したので、再び書くと次のようになる。
p ˙ = 0 z ˙ = D H ( p ) ⋅ p − H ( p ) x ˙ = D H ( p )
\begin{align*}
\dot{\mathbf{p}} &= 0
\\ \dot{z} &= D H( \mathbf{p} )\cdot \mathbf{p} -H ( \mathbf{p} )
\\ \dot{\mathbf{x}} &= DH ( \mathbf{p})
\end{align*}
p ˙ z ˙ x ˙ = 0 = DH ( p ) ⋅ p − H ( p ) = DH ( p )
このときt ( s ) = s , p ( s ) = D u ( x ( s ) , s ) , z ( s ) = u ( x ( s ) , s ) t(s)=s, p(s)=Du(x(s), s), z(s)=u(x(s), s) t ( s ) = s , p ( s ) = D u ( x ( s ) , s ) , z ( s ) = u ( x ( s ) , s ) である。p p p に対する微分とx x x に対する微分を区別する必要がないため、D D D の下付き文字を省略した。オイラー-ラグランジュ方程式 は固定された開始点と終了点に対して成立するため、与えられたハミルトン-ヤコビ方程式( 1 ) (1) ( 1 ) の解が存在する場合、以下のようなlocal in time solutionである。
u = u ( x , t ) ∈ C 2 ( R n × [ 0 , T ] )
u= u(x,t) \in C^2\big( \mathbb{R}^n \times [0,T]\big)
u = u ( x , t ) ∈ C 2 ( R n × [ 0 , T ] )
上記の特性方程式では、第一式と第三式はラグランジアンL = H ∗ L=H* L = H ∗ によって定義される作用の最小化問題 から導かれるオイラー-ラグランジュ方程式を満たすハミルトン方程式である。
H H H とL L L がp p p , v ∈ R n v\in \mathbb{R}^n v ∈ R n で微分可能であれば、以下の内容はすべて同等である。
{ p ⋅ v = L ( v ) + H ( p ) p = D L ( v ) v = D H ( p )
\begin{cases} p\cdot v=L(v) + H(p)
\\ p=DL(v)
\\ v=DH(p) \end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ p ⋅ v = L ( v ) + H ( p ) p = D L ( v ) v = DH ( p )
このときp = D v L ( v ) p=D_{v}L(v) p = D v L ( v ) で定義されるため、上記の補題を使用すると次を得る。
z ˙ ( s ) = D H ( p ) ⋅ p − H ( p ) = v ⋅ p − H ( p ) = L ( v ) + H ( p ) − H ( p ) = L ( v ) = L ( x ˙ ( s ) )
\begin{align*}
\dot{z}(s) &= DH(\mathbf{p})\cdot \mathbf{p}-H(\mathbf{p})
\\ &= \mathbf{v} \cdot \mathbf{p}-H(\mathbf{p})
\\ &= L(\mathbf{v})+H(\mathbf{p})-H(\mathbf{p})
\\ &= L(\mathbf{v}) = L\big(\dot{\mathbf{x}}(s)\big)
\end{align*}
z ˙ ( s ) = DH ( p ) ⋅ p − H ( p ) = v ⋅ p − H ( p ) = L ( v ) + H ( p ) − H ( p ) = L ( v ) = L ( x ˙ ( s ) )
したがってz ( t ) z(t) z ( t ) を求めると、次のようになる。
z ( t ) = ∫ 0 t z ˙ ( s ) d x + z ( 0 ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) + u ( x ( 0 ) , 0 ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) )
\begin{align*}
z(t) &= \int_{0}^t \dot{z}(s)dx +z(0)
\\ &= \int_{0}^tL \big( \dot{\mathbf{x}}(s) \big) + u\big( \mathbf{x}(0),\ 0\big)
\\ &= \int_{0}^t L\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big) ds +g\big(\mathbf{x}(0) \big)
\end{align*}
z ( t ) = ∫ 0 t z ˙ ( s ) d x + z ( 0 ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) + u ( x ( 0 ) , 0 ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) )
しかし、このとき上記の条件ではz ( t ) = u ( x ( t ) , t ) z(t)=u(x(t), t) z ( t ) = u ( x ( t ) , t ) であったので、次を得る。
u ( x , t ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) ) ( 0 ≤ t < T )
u(x,t)=\int_{0}^t L\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big) ds +g\big(\mathbf{x}(0) \big) \quad (0 \le t <T)
u ( x , t ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) ) ( 0 ≤ t < T )
これはlocal in time smooth solutionであるため、global in time weak solutionを求めることができるかという問題が残る。再び作用の最小化問題に戻るが、オイラー-ラグランジュ方程式を導いた際と異なる点は終点のみを固定する ことである。
固定されたx ∈ R n , t > 0 x \in \mathbb{R}^n, t>0 x ∈ R n , t > 0 が与えられたとする。そして、許容クラス A \mathcal{A} A を次のようにする。
A = { w ∈ C 1 ( [ 0 , t ] ; R n ) : w ( t ) = x }
\mathcal{A}=\left\{ \mathbf{w}\in C^1\big( [0,t];\mathbb{R}^n \big)\ :\ \mathbf{w}(t)=x \right\}
A = { w ∈ C 1 ( [ 0 , t ] ; R n ) : w ( t ) = x }
そして、以下のような作用に対する最小化問題を考えてみよう。
w ( ⋅ ) ∈ A ↦ ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( w ( 0 ) )
\mathbf{w}(\cdot) \in \mathcal{A} \mapsto \int_{0}^t L\big( \dot{\mathbf{w}}(s)\big) ds + g(\mathbf{w}(0))
w ( ⋅ ) ∈ A ↦ ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( w ( 0 ))
もし上記の作用のミニマイザーx ( ⋅ ) \mathbf{x}(\cdot) x ( ⋅ ) が存在するならば 、p ( s ) : = D L ( x ˙ ( s ) ) \mathbf{p}(s):=DL(\dot{\mathbf{x}}(s)) p ( s ) := D L ( x ˙ ( s )) であり、オイラー-ラグランジュ方程式を満たし、したがってハミルトン方程式も満たす。したがって、上記のlocal in time solutionの場合と同様に、解は以下のように与えられるだろう。
u ( x , t ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) )
u(x,t)=\int_{0}^tL\big( \dot{\mathbf{x}}(s)\big)ds +g \big( \mathbf{x}(0) \big)
u ( x , t ) = ∫ 0 t L ( x ˙ ( s ) ) d s + g ( x ( 0 ) )
上記の内容をモチーフに、global in time weak solutionが存在する場合 、次のように定義できる。
u ( x , t ) : = inf w ∈ A { ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( w ( 0 ) ) }
\begin{equation}
u(x,t):=\inf \limits_{\mathbf{w} \in \mathcal{A}} \left\{ \int_{0}^t L\big( \dot{\mathbf{w}}(s) \big)ds + g\big( \mathbf{w}(0) \big) \right\}
\end{equation}
u ( x , t ) := w ∈ A inf { ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( w ( 0 ) ) }
定理 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x ∈ R n であり、t > 0 t>0 t > 0 とする。それならば、( 2 ) (2) ( 2 ) の最小化問題の解は次のように与えられる。
u ( x , t ) = min y ∈ R n { t L ( x − y t ) + g ( y ) }
u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\}
u ( x , t ) = y ∈ R n min { t L ( t x − y ) + g ( y ) }
これをホップ-ラックス公式 Hopf-Lax formula と呼ぶ。
証明 まずinf \inf inf に対して成立することを示し、その次に実際にmin \min min になることを示す順序で証明する。
ステップ 1.
固定された任意のy ∈ R n , t ∈ R y \in \mathbb{R}^n, t\in \mathbb{R} y ∈ R n , t ∈ R がある。そして、w \mathbf{w} w を次のように定義しよう。
w ( s ) : = y + s t ( x − y ) ( 0 ≤ s ≤ t )
\mathbf{w}(s) :=y+\frac{s}{t}(x-y) \quad (0 \le s \le t)
w ( s ) := y + t s ( x − y ) ( 0 ≤ s ≤ t )
するとw ( 0 ) = y \mathbf{w}(0)=y w ( 0 ) = y であり、w ( t ) = x \mathbf{w}(t)=x w ( t ) = x である。それならばw \mathbf{w} w は許容クラスA \mathcal{A} A の要素である。
A = { w ( ⋅ ) ∣ w ( 0 ) = y , w ( t ) = x }
\mathcal{A}= \left\{ \mathbf{w}(\cdot) \ \big| \ \mathbf{w}(0)=y,\ \mathbf{w}(t)=x\right\}
A = { w ( ⋅ ) w ( 0 ) = y , w ( t ) = x }
それならば~の定義により、次の不等式が成立する。
u ( x , t ) ≤ ∫ 0 t L ( x − y t ) d s + g ( y ) = t L ( x − y t ) + g ( y )
\begin{align*}
u(x,t) & \le& \int_{0}^t L \left( \frac{x-y}{t}\right)ds + g(y)
\\ &= tL\left( \frac{x-y}{t}\right)+g(y)
\end{align*}
u ( x , t ) ≤ = t L ( t x − y ) + g ( y ) ∫ 0 t L ( t x − y ) d s + g ( y )
この不等式はすべてのy ∈ R n y \in \mathbb{R}^n y ∈ R n に対して成立するので、次を得る。
u ( x , t ) ≤ inf y ∈ R n ( t L ( x − y t ) + g ( y ) )
u(x,t) \le \inf \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left(t L\left(\frac{x-y}{t} \right) +g(y)\right)
u ( x , t ) ≤ y ∈ R n inf ( t L ( t x − y ) + g ( y ) )
ステップ 2.
▷eq41
◁としよう。それならばw ( ⋅ ) ∈ C 1 ( [ 0 ; t ] ; R n ) \mathbf{w}(\cdot) \in C^1([0;t];\mathbb{R}^n) w ( ⋅ ) ∈ C 1 ([ 0 ; t ] ; R n ) であり、w ( t ) = x \mathbf{w}(t)=x w ( t ) = x である。
イェンセンの不等式
関数f f f が凸関数であると仮定しよう。それならば、以下の式が成立する。
f ( − ∫ U u d x ) ≤ − ∫ U f ( u ) d x
f \left( -\!\!\!\!\!\! \int_{U} u dx \right) \le -\!\!\!\!\!\! \int_{U} f(u) dx
f ( − ∫ U u d x ) ≤ − ∫ U f ( u ) d x
それならば、上記の補題により、次が成立する。
L ( 1 t ∫ 0 t w ˙ ( s ) d x ) ≤ 1 t ∫ 0 t L ( w ( s ) ˙ ) d s
L \left( \frac{1}{t}\int_{0}^t \dot{\mathbf{w}}(s) dx\right) \le \dfrac{1}{t}\int_{0}^t L \big( \dot{\mathbf{w}(s)} \big)ds
L ( t 1 ∫ 0 t w ˙ ( s ) d x ) ≤ t 1 ∫ 0 t L ( w ( s ) ˙ ) d s
そして、開始点をy y y としようw ( 0 ) = y \mathbf{w}(0)=y w ( 0 ) = y 。それならば、上記の不等式は以下のようになる。
L ( 1 t ( w ( t ) − w ( 0 ) ) ) ≤ 1 t ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s ⟹ L ( x − y t ) ≤ 1 t ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s
\begin{align*}
&& L\left( \dfrac{1}{t} \big( \mathbf{w}(t)-\mathbf{w}(0) \big) \right) &\le \dfrac{1}{t}\int_{0}^tL \big( \dot{\mathbf{w}}(s) \big)ds
\\ \implies&& L\left( \dfrac{x-y}{t} \right) &\le \dfrac{1}{t}\int_{0}^tL \big( \dot{\mathbf{w}}(s) \big)ds
\end{align*}
⟹ L ( t 1 ( w ( t ) − w ( 0 ) ) ) L ( t x − y ) ≤ t 1 ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s ≤ t 1 ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s
両辺にt t t を掛けてg ( y ) g(y) g ( y ) を足すと、次のようになる。
t L ( x − y t ) + g ( y ) ≤ ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( y )
tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) + g(y) \le \int_{0}^tL \big( \dot{\mathbf{w}}(s) \big)ds + g(y)
t L ( t x − y ) + g ( y ) ≤ ∫ 0 t L ( w ˙ ( s ) ) d s + g ( y )
右辺のinf \inf inf がu ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) であるので、次のようになる。
t L ( x − y t ) + g ( y ) ≤ u ( x , t )
tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) + g(y) \le u(x,t)
t L ( t x − y ) + g ( y ) ≤ u ( x , t )
最後に、両辺にinf y ∈ R n \inf \limits_{y\in \mathbb{R}^n} y ∈ R n inf を取ると、次を得る。
inf y ∈ R n ( t L ( x − y t ) + g ( y ) ) ≤ u ( x , t )
\inf \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) + g(y) \right) \le u(x,t)
y ∈ R n inf ( t L ( t x − y ) + g ( y ) ) ≤ u ( x , t )
したがって、ステップ 1. と ステップ 2. により、次が成立する。
u ( x , t ) = inf y ∈ R n ( t L ( x − y t ) + g ( y ) )
\begin{equation}
u(x,t) = \inf \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) + g(y) \right)
\end{equation}
u ( x , t ) = y ∈ R n inf ( t L ( t x − y ) + g ( y ) )
ステップ 3.
{ y k } k = 1 ∞ \left\{y_{k} \right\}_{k=1}^\infty { y k } k = 1 ∞ を( 3 ) (3) ( 3 ) の最小化シーケンス minimizing sequence としよう。それならば、次が成立する。
t L ( x − y k t ) + g ( y k ) → u ( x , t ) ∈ [ − ∞ , ∞ ) a s k → ∞
\begin{equation}
tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t} \right) + g(y_{k}) \to u(x,t)\in [-\infty, \infty) \quad \mathrm{as}\ k\to \infty
\end{equation}
t L ( t x − y k ) + g ( y k ) → u ( x , t ) ∈ [ − ∞ , ∞ ) as k → ∞
まず、{ y k } \left\{y_{k} \right\} { y k } が有界 でないと仮定しよう。これが矛盾であることを確認して、{ y k } \left\{ y_{k} \right\} { y k } が有界であることを示す。仮定により、∣ y k ∣ → ∞ |y_{k}| \to \infty ∣ y k ∣ → ∞ であり、y k = 0 y_{k}=0 y k = 0 のk k k は多くても有限個である。したがって、y k ≠ 0 y_{k}\ne 0 y k = 0 を満たすものだけを集めた部分列を再び{ y k } \left\{ y_{k} \right\} { y k } としよう。次が成立する。
∣ x − y k t ∣ → ∞
\left| \dfrac{x-y_{k}}{t} \right| \to \infty
t x − y k → ∞
それならば、ラグランジアンL L L の性質により、次が成立する。
a k : = L ( x − y k t ) ∣ x − y k t ∣ → ∞
a_{k}:= \dfrac{L\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right)}{\left| \dfrac{x-y_{k}}{t}\right|} \to \infty
a k := t x − y k L ( t x − y k ) → ∞
したがって、L ( x − y l t ) → ∞ L\left( \dfrac{x-y_{l}}{t}\right) \to \infty L ( t x − y l ) → ∞ であり、ここに定数を掛けても同じ結果を得る。
t L ( x − y k t ) → ∞
\begin{equation}
tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right) \to \infty
\end{equation}
t L ( t x − y k ) → ∞
g g g のリプシッツ条件を再び書くと、次のようになる。
∣ g ( x ) − g ( y k ) ∣ ∣ x − y k ∣ ≤ L i p ( g ) = C ∀ k ∈ N
\dfrac{|g(x)-g(y_{k})|}{|x-y_{k}|} \le \mathrm{Lip}(g)=C \quad \forall \ k \in \mathbb{N}
∣ x − y k ∣ ∣ g ( x ) − g ( y k ) ∣ ≤ Lip ( g ) = C ∀ k ∈ N
したがって、次を得る。
g ( x ) − g ( y k ) ≤ C ∣ x − y k ∣
g(x) -g(y_{k}) \le C|x-y_{k}|
g ( x ) − g ( y k ) ≤ C ∣ x − y k ∣
両辺に( 5 ) (5) ( 5 ) を足すと、次のようになる。
t L ( x − y k t ) + g ( x ) − g ( y k ) ≤ C ∣ x − y k ∣ + t L ( x − y k t ) f o r l a r g e k
tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right)+ g(x) -g(y_{k}) \le C|x-y_{k}|+ tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right) \quad \mathrm{for\ large}\ k
t L ( t x − y k ) + g ( x ) − g ( y k ) ≤ C ∣ x − y k ∣ + t L ( t x − y k ) for large k
上記の式を適切に移項すると、以下のようになる。
t L ( x − y k t ) − C ∣ x − y k ∣ + g ( x ) ≤ t L ( x − y k t ) + g ( y k )
tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right)-C|x-y_{k}| + g(x) \le tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right) + g(y_{k})
t L ( t x − y k ) − C ∣ x − y k ∣ + g ( x ) ≤ t L ( t x − y k ) + g ( y k )
再び書くと、次のようになる。
a k ∣ x − y k ∣ − C ∣ x − y k ∣ + g ( x ) = ∣ x − y k ∣ ( a k − C ) + g ( x ) ≤ t L ( x − y k t ) + g ( y k )
a_{k}|x-y_{k}| -C|x-y_{k}| + g(x) =|x-y_{k}|(a_{k}-C)+g(x) \le tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t}\right) + g(y_{k})
a k ∣ x − y k ∣ − C ∣ x − y k ∣ + g ( x ) = ∣ x − y k ∣ ( a k − C ) + g ( x ) ≤ t L ( t x − y k ) + g ( y k )
a k → ∞ a_{k}\to \infty a k → ∞ であり、∣ x − y k ∣ → ∞ |x-y_{k}| \to \infty ∣ x − y k ∣ → ∞ であるため、左辺が∞ \infty ∞ に発散し、右辺も発散する。したがって、u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) の定義により、u ( x , t ) → ∞ u(x,t)\to \infty u ( x , t ) → ∞ である。これは( 4 ) (4) ( 4 ) に矛盾するため、{ y k } \left\{ y_{k} \right\} { y k } は有界である。
{ y k } \left\{ y_{k} \right\} { y k } が有界であるため、y k → y 0 y_{k} \to y_{0} y k → y 0 と仮定しよう。すると、次が成立する。
t L ( x − y k t ) + g ( y k ) → t L ( x − y 0 t ) + g ( y 0 ) = min y ∈ R n ( t L ( x − y t ) + g ( y ) )
tL \left( \dfrac{x-y_{k}}{t} \right)+g(y_{k}) \to tL \left( \dfrac{x-y_{0}}{t}\right)+g(y_{0}) =\min\limits_{y \in \mathbb{R}^n}\left( tL \left( \dfrac{x-y}{t}\right)+g(y) \right)
t L ( t x − y k ) + g ( y k ) → t L ( t x − y 0 ) + g ( y 0 ) = y ∈ R n min ( t L ( t x − y ) + g ( y ) )
それならば、( 4 ) (4) ( 4 ) により、次が成立する。
t L ( x − y k t ) + g ( y k ) → u ( x , t ) ∈ [ − ∞ , ∞ ) a s k → ∞
tL\left( \dfrac{x-y_{k}}{t} \right) + g(y_{k}) \to u(x,t)\in [-\infty, \infty) \quad \mathrm{as}\ k\to \infty
t L ( t x − y k ) + g ( y k ) → u ( x , t ) ∈ [ − ∞ , ∞ ) as k → ∞
したがって、次を得る。
u ( x , t ) = min y ∈ R n ( t L ( x − y t ) + g ( y ) )
u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left( tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right)
u ( x , t ) = y ∈ R n min ( t L ( t x − y ) + g ( y ) )
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