📂偏微分方程式

ハミルトニアンとラグランジアンの凸双対性

定理¹

ルジャンドル変換

• $L$は凸関数だ。
• $\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty$

上記の条件を満たすラグランジアン $L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$に対して、$L$のルジャンドル変換 $L^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$を次のように定義する。

$$ L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \big( p\cdot v -L(v) \big) \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n} $$

ラグランジアン $L$がルジャンドル変換が定義される条件を満たすとする。ハミルトニアン $H$を$L$のルジャンドル変換としよう。 $$ H=L^{\ast} $$

すると、$H$ もルジャンドル変換が定義されるための2つの条件を満たし、$L=H^{\ast}$が成り立つ。

• (a) $H$は凸関数だ。

  $$ \lambda H(v_{1}) + (1-\lambda) H(v_{2}) \le H\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1 $$

• (b) $\lim \limits_{ |p|\to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| }=+\infty$

• (c) $L=H^{\ast}$

逆も成り立つ。さらに、$H$と$L$が$p$、$v\in \mathbb{R}^{n}$で微分可能であれば、以下の内容はすべて等価である。

• $p\cdot v=L(v) + H(p)$
• $p=DL(v)$
• $v=DH(p)$

証明

(a)

$p,q \in \mathbb{R}^{n}$と$0 \le \tau \le 1$とする。すると、次が成り立つ。

$$ \begin{align*} H(\tau p+(1-\tau)q) &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( (\tau p + (1-\tau) q) \cdot v -L(v) \big) \\ &= \sup \limits_{v\in \mathbb{R}^{n}} \big( \tau ( p \cdot v -L(v) ) +(1-\tau)(q \cdot v -L(v)) \big) \\ &\le \tau \sup \limits_{v} (p\cdot v - L(v) ) +(1-\tau) \sup \limits_{v} (q\cdot v -L(v)) \\ &= \tau H(p) + (1-\tau)H(q) \end{align*} $$

第二の等号は$\tau L(v) -\tau L(v)$を加えて整理すれば成り立つ。第三行は$L$が凸関数であるため成り立つ。最後の等号はルジャンドル変換の定義と$H=L^{\ast}$という仮定によって成り立つ。

■

(b)

任意の固定された正の数$\lambda >0$があるとする。そして$p\ne 0 \in \mathbb{R}^{n}$とする。すると、仮定により次が成り立つ。

$$ H(p)= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v - L(v)) $$

この時、$v=\lambda \frac{p}{|p|}$と置くと、$\sup$の定義により、上の式に任意の$v$を代入しても、上の式以下であるため、次を得る。

$$ \begin{align*} H(p) &= \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}}( p\cdot v -L(v)) \\ &\ge \lambda |p| -L \left( \lambda \frac{p}{|p|} \right) \\ & \ge \lambda |p| - \max \limits_{B(0,\lambda)} L \end{align*} $$

両辺を$|p|$で割ると、次のようになる。

$$ \dfrac{H(p)}{|p|} \ge \lambda - \dfrac{\max L}{ |p| } $$

これは、次の式が成立することを意味する。

$$ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } \ge \lambda $$

上の式は任意の$\lambda$に対して成立するので、次を得る。

$$ \liminf \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty $$

したがって、次のようになる。

$$ \lim \limits_{|p| \to \infty} \dfrac{ H(p) }{ |p| } = \infty $$

■

(c)

$H=L^{\ast}$と$L^{\ast}=\sup (p \cdot v -L(v))$で、どんな$v$にも対して$H$は常に大きいか等しい。

$$ H(p) \ge p \cdot v -L(v) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n} $$

$H$と$L$を交換すると、次を得る。

$$ L(v) \ge p \cdot v -H(p) \quad \forall \ v\in \mathbb{R}^{n} $$

両辺で$p \in \mathbb{R}^{n}$に対して$\sup$を適用すると、右辺はルジャンドル変換の定義により$H^{\ast}$となる。

$$ L(v) \ge \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v -H(p) \big) =H^{\ast}(v) $$

これで、逆の不等式$L(v) \le H^{\ast}(v)$が成立することを示せば、証明は完成する。$H^{\ast}$は定義により、次のようになる。

$$ H^{\ast}(v)= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-H(p)\big) $$

しかし、$H=L^{\ast}$と仮定したので、次を得る。

$$ \begin{equation} \begin{aligned} H^{\ast}(v) &= \sup_{p \in \mathbb{R}^{n}} \big( p \cdot v-\sup_{r \in \mathbb{R}^{n}}\big( p\cdot r - L(r) \big) \big) \\ &= \sup_{p} \inf_{r} \big( p\cdot(v-r) + L(r)\ \big) \end{aligned} \label{eq1} \end{equation} $$

補助定理

もし関数$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$が凸であれば、全ての$x \in \mathbb{R}^{n}$に対して、次を満たす$r \in \mathbb{R}^{n}$が存在する。

$$ f(y) \ge f(x) + r\cdot(y-x) \quad \forall\ y\in \mathbb{R}^{n} $$

$L$は凸であるため、補助定理により、全ての$v \in \mathbb{R}^{n}$に対して、次の条件を満たす$s \in \mathbb{R}^{n}$が存在する。

$$ L(r) \ge L(v)+s\cdot(r-v) \quad \forall \ r\in \mathbb{R}^{n} $$

$s\cdot (r-v)$を交換し、$p=s$を代入すると、$\eqref{eq1}$は次のようになる。

$$ H^{\ast}(v) \ge \inf_{r} \big( s\cdot (v-r) \big) =L(v) $$

したがって、$H^{\ast}(v) \ge L(v)$であり、$H^{\ast}(v)=L(v)$である。

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