フーリエスライス定理
📂トモグラフィフーリエスライス定理
概要
f:R2→Rについて、以下の式が成り立ちます。
F2f(ξcosθ, ξsinθ)=F(Rf)(ξ, θ)
ここで、Fは1次元のフーリエ変換、F2は2次元フーリエ変換、Rはラドン変換を意味します。
Ff(y)F2f(y1,y2)Rf(s,θ)=∫f(x)e−ixydx=∫∫f(x1,x2)e−i(x1,x2)⋅(y1,y2)dx1dx2=∫t=−∞∞f(scosθ−tsinθ, ssinθ+tcosθ)dt
説明
プロジェクションスライス定理projection slice theoremまたはセントラルスライス定理central slice theoremとも呼ばれます。
証明
(thm1)の左辺を計算すると、以下のようになります。
F2f(ξcosθ, ξsinθ)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−i(ξcosθ⋅x+ξsinθ⋅y)dxdy=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−iξ(xcosθ+ysinθ)dxdy
そして、平面上の点を以下の図のように極座標で表示するために、以下の図のように置換しましょう。

s=xcosθ+ysinθt=−xsinθ+ycosθ
すると
x=scosθ−tsinθy=ssinθ+tcosθ
そしてdxdy=dsdtなので、(eq1)に代入すると
F2f(ξcosθ, ξsinθ)=∫−∞∞∫−∞∞f(scosθ−tsinθ, ssinθ+tcosθ)e−iξsdtds=∫−∞∞(∫−∞∞f(scosθ−tsinθ, ssinθ+tcosθ)dt)e−iξsds=∫−∞∞Rf(s, θ)e−iξsds=FRf(ξ, θ)
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