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バックプロジェクション：ラドン変換のデュアル

定義^{1 2}

Radon変換 $\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$のデュアルオペレーター $\mathcal{R}^{\#} : L^{2}(Z_{n}) \to L^{2}(\mathbb{R}^{n})$をバックプロジェクション^{back projection, 背景投影}という。

$$ \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} = \left\langle f , \mathcal{R}^{\#}g \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})} $$

ここで $Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$は$\mathbb{R}^{n+1}$のユニットシリンダーだ。

定理

式

バックプロジェクションは具体的に以下の通りだ。

$$ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} $$

特に二次元では、

$$ \mathcal{R}^{\#} g (x,y) = \int_{0}^{2\pi} g (x\cos\theta + y\sin\theta, \theta) d\theta $$

Radon変換のバックプロジェクション

次の式が成立する。

$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$

ここで $\ast$はコンボリューション、$\left| S^{n-1} \right|$は$n$次元の球の表面積である。特に二次元では、

$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f = \dfrac{2}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$

説明

バックプロジェクションはRadon変換のデュアルなので、Radon逆変換の候補として考えられる。しかしRadon変換はユニタリーではないので、以下が成立しない。

$$ \mathcal{R}^{-1} \ne \mathcal{R}^{\#} $$

二番目の定理を見ると、$\mathcal{R}^{\#}\mathcal{R}f$は$f$に似ているが、同じではないことがわかる。実際に計算してみると、元の画像をブラー（blur）処理したように見える。

したがって、$f$を正確に得るためには、フィルターの役割をする別のオペレーターを通過しなければならず、このようなRadon逆変換をfiltered back projectionという。

幾何学的意味と視覚化

理解のために、2次元を考えよう。Radon変換のバックプロジェクションは以下の通りだ。

$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int_{0}^{2\pi} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta) d \theta ,\quad \boldsymbol{\theta} = (\cos \theta, \sin \theta) $$

ここで$\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$は、$f$を原点から$\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}$だけ離れており、$\boldsymbol{\theta}$に垂直な線$l_{\mathbf{x}\cdot \boldsymbol{\theta}, \theta}$に沿って線積分したものである。この線は$\theta$に垂直な角度で点$\mathbf{x}$を通る線である。

しかし、バックプロジェクションは、値$\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$を全ての$\theta \in [0,2\pi)$に対して足し合わせる（積分する）ので、$\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})$は点$\mathbf{x}$を通る全ての線に対する$f$の線積分の平均（$2\pi$で割る）となる。

以下の画像は、$\mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x})$を計算する際に、$\mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \theta)$の値を$\theta = 0$から累積して足していく過程を示している。

証明

式

$$ \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(s, \boldsymbol{\theta}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}}\int_{S^{n-1}} \int_{\mathbb{R}}f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp})dt g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds \\ =&\ \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \int_{S^{n-1}} f(s\boldsymbol{\theta} + t\boldsymbol{\theta}^{\perp}) g(s, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} ds dt \end{align*} $$

$s \boldsymbol{\theta} + t \boldsymbol{\theta}^{\perp} = \mathbf{x}$で置き換えると、$s = \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}$となり、次が成立する。

$$ \begin{align*} \left\langle \mathcal{R}f ,g \right\rangle_{L^{2}(Z_{n})} =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{S^{n-1}} f(\mathbf{x}) g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} d \mathbf{x} \\ =&\ \int_{\mathbb{R}^{n}} f(\mathbf{x}) \left( \int_{S^{n-1}} g(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) d \mathbf{x} \\ =&\ \left\langle f, \left( \int_{S^{n-1}} g(\left\langle \cdot, \boldsymbol{\theta} \right\rangle, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} \right) \right\rangle_{L^{2}(\mathbb{R}^{n})} \end{align*} $$

したがって、

$$ \mathcal{R}^{\#} g (\mathbf{x}) = \int_{S^{n-1}} g (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d\boldsymbol{\theta} $$

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Radon変換のバックプロジェクション³

$$ \begin{align*} \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \mathcal{R}f(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\theta}) d \boldsymbol{\theta} \\ =&\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f\big((\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} + \mathbf{y} \big) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} \\ \end{align*} $$

ここで$(\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta})\boldsymbol{\theta} = \mathbf{x} - (\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta}^{\perp})\boldsymbol{\theta}^{\perp}$で、二番目の項は$\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0$の$\mathbf{y}$に含まれているので、上の積分は次の通りである。

$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) =\ \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y} ) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} $$

補助定理

$$ \int \limits_{S^{n-1}} \int \limits_{\mathbf{y} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0} f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) d \mathbf{y} d \boldsymbol{\theta} = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y} $$

それにより、補助定理により、

$$ \mathcal{R}^{\#} \mathcal{R} f(\mathbf{x}) = \left| S^{n-2} \right| \int \limits_{\mathbb{R}^{n}} \dfrac{f(\mathbf{y})}{\left| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right|}d \mathbf{y} = \left| S^{n-2} \right| \dfrac{1}{\left| \mathbf{x} \right|} \ast f $$

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