📂解析学

閉区間で積分できない関数：ディリクレ関数

定義

次のように定義される$f$をディリクレ関数という。

説明

ディリクレ関数はリーマン積分ができない代表的な関数で、おそらく解析学以上の勉強をしない限り、一生想像もしない変態的な例だ。コク指してリーマン積分できないと言う理由は、リーマン積分じゃなければ積分可能かもしれないからだ。

定理

ディリクレ関数は$[0,1]$で積分できない。

証明

実数の密度により、分割$P$をどう取ってもリーマン和は$U ( f , P ) = 1$で、リーマン下和は$L (f, P) = 0$だ。だから、積分可能ではない。

■