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方向性集合 📂集合論

方向性集合

定義 1

(A,≤)(A, \le)を部分順序集合とする。任意のa,b∈Aa, b \in Aに対してa≤ca \le c, b≤cb \le cを満たすc∈Ac \in Aが存在すれば、(A,≤)(A, \le)を有向集合directed setという。

説明

  • 全順序集合は有向集合である。

  • 集合XXに対して、冪集合P(X)P(X)上に集合の包含関係⊂\subsetを部分順序として与えた(P(X),⊂)(P(X), \subset)は有向集合である。

    任意のA,B∈P(X)A, B \in P(X)に対して、A,B⊂A∪BA, B \subset A\cup Bである。

定義から部分順序集合である条件まで具体的に示すと次の通りである。a,b,c∈Aa, b, c \in Aについて、

  1. ∀a, a≤a\forall a,\ a \le a (反射性)
  2. a≤b∧b≤c  ⟹  a≤ca \le b \land b \le c \implies a \le c (推移性)
  3. a≤b∧b≤a  ⟹  a=ba \le b \land b \le a \implies a = b (反対称性)
  4. For some a,b∈A, ∃ d such that a≤d∧b≤d\text{For some }a, b \in A,\ \exist\ d \text{ such that } a \le d \land b \le d

AAのどの要素から始めても、最終的に一つの終着点に到達できる集合である。例えば次の集合は有向集合を成す。

A={1}B={1,2}C={1,3}D={1,2,3}E={4}F={5}G={4,5}H={1,2,3,4,5}I={6}J={1,2,3,4,5,6} \begin{align*} A &= \left\{ 1 \right\} \\ B &= \left\{ 1,2 \right\} \\ C &= \left\{ 1,3 \right\} \\ D &= \left\{ 1,2,3 \right\} \\ E &= \left\{ 4 \right\} \\ F &= \left\{ 5 \right\} \\ G &= \left\{ 4, 5 \right\} \\ H &= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\} \\ I &= \left\{ 6 \right\} \\ J &= \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\} \\ \end{align*}

図で表すと次の通りである。

共終

定義

(A,≤)(A, \le)を部分順序集合とする。B⊂AB \subset Aとする。すべてのa∈Aa \in Aに対して、a≤ba \le bを満たすb∈Bb \in Bが存在すれば、BBがAAで共終cofinalであるという。

定理

BBが有向集合AAで共終であれば、BBは有向集合である。

証明

AAが有向集合であるため、任意のa,b∈B⊂Aa, b \in B \subset Aに対してa,b≤ca, b \le cを満たすc∈Ac \in Aが存在する。しかし、AAとBBが共終であるため、c≤dc \le dであるd∈Bd \in Bが存在する。つまり、任意のa,b∈Ba, b \in Bに対してa,b≤da, b \le dを満たすd∈Bd \in Bが存在するので、BBは有向集合である。

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  1. 박대희·안승호, 위상수학 (5/E, 2022), p435 ↩︎