📂微分積分学

微積分学におけるオイラーの公式

定理

1. オイラーの公式:

$${ e }^{ ix }= \cos x + i \sin x$$

2. オイラーの等式:

$${ e }^{ i\pi }+1=0$$

説明

オイラーの公式^{euler’s formula}は、それ自体の形がすごく奇妙で、オイラー自身もどこで使われるか分からなかったけど、今では多くの分野で使われていて、その有用性を要約するのが難しい程だ。虚数が学界でまだうまく受け入れられていなかった当時の発見だと考えれば、さらに驚くべきだ。導出自体は指数関数、サイン関数、コサイン関数のテイラー展開を通じて簡単にできる。

$${ { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }$$

$$\sin x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n+1 } }{ (2n+1)! }{ { (-1) }^{ n } } }$$

$$\cos x=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ 2n } }{ (2n)! }{ { (-1) }^{ n } } }$$

導出（オイラーの公式）

$$\begin{align*} { e }^{ ix } =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (ix) } ^{ n } }{ n! } } \\ =&\frac { { (ix) } ^{ 0 } }{ 0! }+\frac { { (ix) } ^{ 1 } }{ 1! }+\frac { { (ix) } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { (ix) } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { (ix) } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots \\ =&\frac { 1 }{ 0! }+\frac { ix }{ 1! }-\frac { { x }^{ 2 } }{ 2! }-\frac { i { x }^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }+ \cdots \\ =& \left( \frac { 1 }{ 0! } - \frac { { x } ^{ 2 } }{ 2! }+\frac { { x } ^{ 4 } }{ 4! }-\frac { { x } ^{ 6 } }{ 6! }+\cdots \right) + i\left( \frac { x }{ 1! } - \frac { { x } ^{ 3 } }{ 3! }+\frac { { x } ^{ 5 } }{ 5! }-\frac { { x } ^{ 7 } }{ 7! }+\cdots \right) \\ =& \cos x + i \sin x \end{align*}$$

したがって、

$${ e }^{ ix }= \cos x + i \sin x$$

■

---

特に$x=\pi$を代入すると、いわゆる’世界で最も美しい等式’であるオイラーの等式を得る。また、オイラーの等式をうまくいじると、虚数単位$i$の$i$乗、つまり$i^i$の値も求めることができる。驚くべきことに、その値は実数で、証明は次の通り。

証明

$$\begin{align*} && { e }^{ i\pi }+1 =& 0 \\ \implies && { e }^{ i\pi }=&-1 \\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 } } =& \sqrt { -1 } \\ \implies && { \left( { e } ^{ \frac { i\pi }{ 2 } } \right) }^{ i } =& { \sqrt { -1 } }^{ i } \\ \implies && { e }^{ \frac { i\pi }{ 2 }i } =& { i } ^{ i } \\ \implies && { i }^{ i } =& { e }^{ -\frac { \pi }{ 2 } } \\ \implies && { i }^{ i } =& \frac { 1 }{ \sqrt { { e }^{ \pi } } } \end{align*}$$

■