📂幾何学

垂直な二直線の傾きの積は常に-1であることを証明하시오

定理

互いに垂直な二つの直線の傾きの積は常に$-1$である。

説明

多くの問題で非常に役に立つ事実である。2つの証明方法を紹介する。

証明

1

ピタゴラスの定理を使う。下の図を見よ。

垂直な二つの直線の傾きが$a$、$a^{\prime}$だとする。そうすると上の図のように直角三角形$\triangle OAA^{\prime}$を考えることができ、ピタゴラスの定理によって次の結果を得る。

$$\begin{align*} && {\overline{OA} }^2 + {\overline{OA^{\prime}} }^2 =&\ {\overline{AA^{\prime}} }^2 \\ \implies && (1+a^2) + (1 + {a^{\prime}}^2) =&\ (a-a^{\prime}) ^2 \\ \implies && a^2 + {a^{\prime}}^2 +2 =&\ a^2 + {a^{\prime}}^2 -2aa^{\prime} \\ \implies && 2 =&\ -2aa^{\prime} \\ \implies && aa^{\prime} =&-1 \end{align*}$$

したがって、垂直な二つの直線の傾きの積は$-1$である。

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2

任意の一つの直線の傾きは$\tan \theta$である。その場合、垂直な二つの直線の傾きはそれぞれ$\tan \theta$、$\tan \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right)$で表せる。そこから次の結果を得る。

$$\begin{align*} \tan \theta \cdot \tan \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) =&\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \frac{\sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) }{\cos \left( \theta +\dfrac{\pi}{2} \right) } \\ =&\ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \left( \frac{\cos \theta}{-\sin\theta } \right) \\ =&\ -1 \end{align*}$$

したがって、垂直な二つの直線の傾きの積は$-1$である。

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