指数関数集合と三角関数集合は正規直交基底である
要旨
二つの集合$\left\{ e^{inx} \right\}_{n=-\infty}^\infty$と$\left\{ \cos nx\ \right\}_{n=0}^\infty \cup \left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^\infty$は$L^{2}(-\pi,\ \pi)$の正規直交基底だ。また、$\left\{ \cos nx \right\}_{n=0}^{\infty}$と$\left\{ \sin nx \right\}_{n=1}^{\infty}$は$L^{2}(0,\ \pi)$の正規直交基底だ。
説明
与えられた関数を三角関数の級数で表すフーリエ級数が妥当である理由を説明する事実だ。
証明
$\phi_{n}(x)=e^{inx}$とする。そして$f \in L^{2}(-\pi,\ \pi)$であり、$\epsilon$を非常に小さい任意の正数と仮定する。
補題
任意の$f \in L^{2}(a,\ b)$に対して、$| f_{n} - f | \rightarrow 0$を満たす$[a,\ b]$上で滑らかな関数の列$\left\{ f_{n} \right\}$が存在する。
すると、補題により次の式を満たす$\tilde{f}$が存在する。
$$ \begin{equation} | f-\tilde{f} | < \frac{\epsilon}{3} \label{eq1} \end{equation} $$
そして、$c_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle f,\ \phi_{n} \rangle$と$\tilde{c}_{n}=\frac{1}{2\pi}\langle \tilde{f},\ \phi_{n} \rangle$が$f$と$\tilde{f}$のフーリエ係数だとする。すると、$\tilde{f}$のフーリエ級数$\sum \tilde{c}_{n}\phi_{n}$は$\tilde{f}$に一様収束し、一様収束するのでノルムで収束する。つまり、以下の式が成立する。
$$ \begin{equation} \left\| \tilde{f} -\sum \limits_{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| < \dfrac{\epsilon}{3} \label{eq2} \end{equation} $$
そして、以下の式が成立する。
$$ \begin{align} \left\| \sum\limits_{-N}^{N}\tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right\| ^{2} &= \left\| \sum\limits_{-N}^{N} (\tilde{c}_{n}-c_{n}) \phi_{n} \right\| ^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} | \tilde{c}_{n} -c_{n} |^{2} | \phi_{n} |^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} | \phi_{n}|^{2} \nonumber \\ &= \sum \limits_{-N}^{N} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le \sum \limits_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{2\pi} | \langle \tilde{f}-f,\ \phi_{n} \rangle |^{2} \nonumber \\ &\le | \tilde{f} - f | ^{2} \nonumber \\ &< \left( \dfrac{\epsilon}{3} \right)^{2} \label{eq3} \end{align} $$
四番目の等号は$ | \phi_{n} |=1$のために成立する。六番目の行はベッセルの不等式によって成立する。最後の行は仮定$\eqref{eq1}$によって成立する。今、$(1)$、$(2)$、$(3)$を使って$| f -\sum c_{n}\phi_{n} | \rightarrow 0$であることを示せば、証明は完了だ。
$$ f-\sum \limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} = (f-\tilde{f}) + \left( \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right) + \left( \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n}\right) $$
上の式が成立するので、三角不等式により、
$$ \begin{align*} \left\| f-\sum\limits_{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| &\le \| f-\tilde{f} \| + \left\| \tilde{f} -\sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} \right\| + \left\| \sum _{-N}^{N} \tilde{c}_{n}\phi_{n} - \sum _{-N}^{N}c_{n}\phi_{n} \right\| \\ &= \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} \\ &= \epsilon \end{align*} $$
従って、
$$ \left\| f- \sum \limits_{-\infty}^{\infty} c_{n}\phi_{n} \right\| \rightarrow 0 $$
そして、条件 (b)により、$\left\{ \phi_{n} \right\}$は完全正規直交集合だ。
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残りのケースについては、本質的に同じまたはほぼ同じ過程で証明できるので省略する。