特性関数のフーリエ変換は次のとおりだ。
F[χ[−a,a](x)]=2sin(aξ)ξ \mathcal{F} \left[ \chi_{[-a,a]}(x) \right] = \dfrac{2 \sin(a\xi) }{\xi} F[χ[−a,a](x)]=ξ2sin(aξ)
F[χ[−a,a](x)]=∫−∞∞χ[−a,a](x)e−iξxdx=∫−aae−iξxdx=1−iξe−iξx]−aa=1−iξ(e−iaξ−eiaξ)=2ξeiaξ−e−iaξ2i=2ξsin(aξ) \begin{align*} \mathcal{F} \left[ \chi_{[-a,a]}(x) \right] &= \int_{-\infty}^{\infty} \chi_{[-a,a]}(x)e^{-i \xi x } dx \\ &= \int_{-a}^{a}e^{-i \xi x} dx \\ &= \dfrac{1}{-i\xi} \left. e^{-i\xi x}\right]_{-a}^{a} \\ &= \dfrac{1}{-i\xi} \left( e^{-i a \xi} - e^{i a \xi} \right) \\ &= \dfrac{2}{\xi} \dfrac{e^{ia\xi} -e^{-ia\xi}}{2i} \\ &= \dfrac{2}{\xi} \sin (a\xi) \end{align*} F[χ[−a,a](x)]=∫−∞∞χ[−a,a](x)e−iξxdx=∫−aae−iξxdx=−iξ1e−iξx]−aa=−iξ1(e−iaξ−eiaξ)=ξ22ieiaξ−e−iaξ=ξ2sin(aξ)
■
